Resolva as questões abaixo, envolvendo equações biquadradas, irracionais e funções.
Resolução de Equação Biquadrada II: Encontre as raízes da equação x 4-6 x 2+5=0, que descreve a posição de um robô em instantes t (onde \mathrm{t} 2=\mathrm{x} ).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação biquadrada
x^4 - 6x^2 + 5 = 0
e depois relacionar as raízes com instantes t satisfazendo t^2 = x.
O conteúdo que vamos usar é a técnica de substituir y = x^2 para reduzir a equação a uma quadrática em y, resolver essa quadrática, e então voltar a x, verificando a condição x\ge0 (pois x=t^2).

Passo 2

Fazendo a substituição
y = x^2,
a equação em x vira uma equação em y:
y^2 - 6y + 5 = 0.

Passo 3

Para resolver
y^2 - 6y + 5 = 0
calculamos o discriminante
\Delta = (-6)^2 - 4\cdot1\cdot5 = 36 - 20 = 16.
Como \Delta = 16\ge0, haverá duas raízes reais.

Passo 4

As raízes de y^2 - 6y + 5 = 0 são
y = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2},
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y_1 = 5, \qquad y_2 = 1.

Passo 5

Voltando a x pela relação x^2 = y:
  • Se y=5, então x^2 = 5 e x = \pm \sqrt{5}.
  • Se y=1, então x^2 = 1 e x = \pm 1.
    Portanto, as raízes em x da equação original são
x = -\sqrt{5},\; -1,\; 1,\; \sqrt{5}.

Passo 6

Como a interpretação física é x = t^2, precisamos de x\ge0. Descartamos x<0 e ficamos com
x = 1 \quad\text{e}\quad x = 5.
Agora resolvemos t^2 = x:
  • Se x=1, t^2=1 t=\pm1.
  • Se x=5, t^2=5 t=\pm\sqrt{5}.

Passo 7

Em geral tempo não é negativo, então tomamos apenas t\ge0. Assim os instantes em que a posição satisfaz a equação são
t = 1 \quad\text{e}\quad t = \sqrt{5}.

Resposta

As raízes da equação x^4 - 6x^2 + 5 = 0 são
x = \pm1,\;\pm\sqrt{5}.
Como x = t^2\ge0, temos x=1 e x=5, o que dá instantes
t = \pm1,\;\pm\sqrt{5},
e, admitindo t\ge0, os instantes físicos são
t = 1 \quad\text{e}\quad t = \sqrt{5}.

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