Questão 3. Calcule a integral tripla \iiint_{E} y \operatorname{sen} x d V, onde E é a caixa retangular dada por
E=\{(x, y, z): 0 \leq x \leq \pi, 0 \leq y \leq 2,-1 \leq z \leq 5\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E}y\operatorname{sen} x\,dV
sobre a caixa retangular
E=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le\pi,\;0\le y\le2,\;-1\le z\le5\}.
O conteúdo é aplicação do Teorema de Fubini em coordenadas cartesianas e factorização de integrais sobre domínio produto.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini e porque y\operatorname{sen} x é produto de funções de variáveis separáveis, escrevemos
\iiint_{E}y\operatorname{sen} x\,dV =\int_{0}^{\pi}\!\int_{0}^{2}\!\int_{-1}^{5}y\operatorname{sen} x\,dz\,dy\,dx =\Bigl(\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} x\,dx\Bigr)\, \Bigl(\int_{0}^{2}y\,dy\Bigr)\, \Bigl(\int_{-1}^{5}1\,dz\Bigr).

Passo 3

Calcular
\int_{0}^{\pi}\operatorname{sen} x\,dx =[-\cos x]_{0}^{\pi} =-\cos\pi-(-\cos0) =-(-1)-(-1) =2.

Passo 4

Calcular
\int_{0}^{2}y\,dy =\Bigl[\frac{y^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{2} =\frac{2^{2}}{2}-0 =2.

Passo 5

Calcular
\int_{-1}^{5}dz =[z]_{-1}^{5} =5-(-1) =6.

Passo 6

Multiplicando os três resultados:
2\times 2\times 6 = 24.

Resposta

24

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