Questão 5: Calcule: \iint_{S} F . d S, onde F(x, y, z)=\left(x y^{2}+e^{z y}\right) \vec{\imath}+\left(\cos \left(x^{2}+z^{2}\right)+8 y z\right) \vec{\jmath}+\left(-z y^{2}+e^{x^{2}}\right) \vec{k} e S é a fronteira do sólido E limitado pelas superfícies x^{2}+y^{2}+z^{2}=5 e y=0, cujos pontos satisfazem a condição y \geq 0.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=\bigl(xy^{2}+e^{zy}\bigr)\,\vec\imath+\bigl(\cos(x^{2}+z^{2})+8yz\bigr)\,\vec\jmath+\bigl(-zy^{2}+e^{x^{2}}\bigr)\,\vec k
e a superfície S é a fronteira do sólido
E=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le5,\;y\ge0\},
isto é, a “meia-esfera” de raio \sqrt5 (fluxo saindo para fora) mais o disco em y=0. Para calcular \displaystyle\iint_{S}F\cdot dS de forma mais simples, vamos usar o Teorema da Divergência (ou de Gauss).
Passo 2
Calculamos a divergência de F:
\nabla\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy^{2}+e^{zy}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(x^{2}+z^{2})+8yz\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-zy^{2}+e^{x^{2}}\bigr).