Questão 5: Calcule:
\iint_{S} F . d S, onde F(x, y, z)=\left(x y^{2}+e^{z y}\right) \vec{\imath}+\left(\cos \left(x^{2}+z^{2}\right)+8 y z\right) \vec{\jmath}+\left(-z y^{2}+e^{x^{2}}\right) \vec{k} e S é a fronteira do sólido E limitado pelas superfícies x^{2}+y^{2}+z^{2}=5 e y=0, cujos pontos satisfazem a condição y \geq 0.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F(x,y,z)=\bigl(xy^{2}+e^{zy}\bigr)\,\vec\imath+\bigl(\cos(x^{2}+z^{2})+8yz\bigr)\,\vec\jmath+\bigl(-zy^{2}+e^{x^{2}}\bigr)\,\vec k
e a superfície S é a fronteira do sólido
E=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}+z^{2}\le5,\;y\ge0\},
isto é, a “meia-esfera” de raio \sqrt5 (fluxo saindo para fora) mais o disco em y=0. Para calcular \displaystyle\iint_{S}F\cdot dS de forma mais simples, vamos usar o Teorema da Divergência (ou de Gauss).

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
\nabla\cdot F =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xy^{2}+e^{zy}\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\cos(x^{2}+z^{2})+8yz\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-zy^{2}+e^{x^{2}}\bigr).
Derivando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}(xy^{2}+e^{zy})=y^{2},\quad \frac{\partial}{\partial y}(\cos(x^{2}+z^{2})+8yz)=8z,\quad \frac{\partial}{\partial z}(-zy^{2}+e^{x^{2}})=-y^{2}.
Logo,
\nabla\cdot F=y^{2}+8z-y^{2}=8z.

Passo 3

Pelo Teorema da Divergência,
\iint_{S}F\cdot dS =\iiint_{E}(\nabla\cdot F)\,dV =\iiint_{E}8z\,dV.

Passo 4

Observamos que E é simétrico em z (para cada (x,y,z)\in E existe (x,y,-z)\in E), e a função z é ímpar em relação a essa simetria. Assim,
\iiint_{E}z\,dV=0 \quad\Longrightarrow\quad \iiint_{E}8z\,dV=8\cdot0=0.

Resposta

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