Questão 5: Calcule:
, onde
e
é a curva formada elo arco da circunferência
que está no segundo quadrante, pelo segmento que une o onto
ao ponto
e pelo segmento que une o ponto
ao ponto
. Considere
rientada no sentido horário.
Passo 1
O enunciado pede a integral de linha fechada
com
e
é o caminho que consiste no arco da circunferência
no segundo quadrante (de
a
), depois o segmento de
a
e finalmente de
a
, orientado no sentido horário. Como o campo não é gradiente, vamos aplicar o Teorema de Green (convertendo em integral dupla sobre a região
interna a
).
Passo 2
Calcular as derivadas parciais necessárias para Green:
Passo 3
Pelo Teorema de Green com orientação negativa (horário),
Passo 4
A região
é o setor de círculo de raio
entre
e
. Em coordenadas polares:
com
e
. Logo
Passo 5
Calcular a integral em
e em
:
Portanto,