Questão 5: Calcule:
\int_{C} F . d r, onde F(x, y)=\left(\ln \left(x^{4}+10 x^{2}+e^{x}\right)+x^{2} y, y^{\frac{6}{5}}-x y^{2}\right) e C é a curva formada elo arco da circunferência x^{2}+y^{2}=9 que está no segundo quadrante, pelo segmento que une o onto (0,3) ao ponto (0,0) e pelo segmento que une o ponto (0,0) ao ponto (-3,0). Considere C rientada no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha fechada
\oint_{C}F\cdot d r
com
F(x,y)=\bigl(\ln\bigl(x^{4}+10x^{2}+e^{x}\bigr)+x^{2}y,\;y^{6/5}-xy^{2}\bigr)
e C é o caminho que consiste no arco da circunferência x^{2}+y^{2}=9 no segundo quadrante (de (-3,0) a (0,3)), depois o segmento de (0,3) a (0,0) e finalmente de (0,0) a (-3,0), orientado no sentido horário. Como o campo não é gradiente, vamos aplicar o Teorema de Green (convertendo em integral dupla sobre a região D interna a C).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais necessárias para Green:
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{6/5}-x\,y^{2}\bigr) =-y^{2},
\frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\ln(x^{4}+10x^{2}+e^{x})+x^{2}y\Bigr) =0 + x^{2} =x^{2}.

Passo 3

Pelo Teorema de Green com orientação negativa (horário),
\oint_{C}F\cdot d r =-\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA =-\iint_{D}\bigl(-y^{2}-x^{2}\bigr)\,dA =\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA.

Passo 4

A região D é o setor de círculo de raio 3 entre \theta=\pi/2 e \theta=\pi. Em coordenadas polares:
x^{2}+y^{2}=r^{2},\quad dA=r\,dr\,d\theta,
com 0\le r\le3 e \pi/2\le\theta\le\pi. Logo
\iint_{D}(x^{2}+y^{2})\,dA =\int_{\theta=\pi/2}^{\pi}\int_{r=0}^{3}r^{2}\,r\,dr\,d\theta =\int_{\pi/2}^{\pi}\int_{0}^{3}r^{3}\,dr\,d\theta.

Passo 5

Calcular a integral em r e em \theta:
\int_{0}^{3}r^{3}\,dr =\Bigl[\frac{r^{4}}{4}\Bigr]_{0}^{3} =\frac{3^{4}}{4} =\frac{81}{4},
\int_{\pi/2}^{\pi}\frac{81}{4}\,d\theta =\frac{81}{4}\bigl(\pi-\tfrac{\pi}{2}\bigr) =\frac{81}{4}\cdot\frac{\pi}{2} =\frac{81\pi}{8}.
Portanto,
\oint_{C}F\cdot d r =\frac{81\pi}{8}.

Resposta

\displaystyle \frac{81\pi}{8}

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