Questão 5: Calcule:
, onde
e
é a parte da superficie
que está abaixo do plano
. Considere
com orientação do vetor normal para cima.
Passo 1
O enunciado pede a integral de superfície
onde
e
é a porção do paraboloide
que fica abaixo do plano
, orientada com a normal voltada para cima.
O conteúdo usado será o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de fluxo de sobre
à integral de linha de
ao longo da curva de contorno
.
O conteúdo usado será o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de fluxo de
Passo 2
Pelo Teorema de Stokes temos
Aqui
é a interseção de
com o plano
, ou seja o círculo
Como a normal de
aponta para cima, a orientação de
é anti-horária vista do eixo
positivo.
Passo 3
Na curva
temos
, então
O elemento de curva é
, mas sobre
vale
. Logo
Passo 4
Calculamos
Usando o Teorema de Green no disco
:
Como a área de
é
, obtemos