Questão 5: Calcule:
\iint_{S} \operatorname{rot} F . d S, onde F(x, y, z)=(-y) \vec{\imath}+(x) \vec{\jmath}+\left(e^{z^{5}+x^{2}+\operatorname{sen}^{2}\left(y^{2}\right)}\right) \vec{k} e S é a parte da superficie z=x^{2}+y^{2}-25 que está abaixo do plano x y. Considere S com orientação do vetor normal para cima.

Passo 1

O enunciado pede a integral de superfície
\iint_{S} (\nabla \times F)\cdot d\mathbf S
onde
F(x,y,z)=(-y)\,\mathbf i+\,(x)\,\mathbf j+\Bigl(e^{z^{5}+x^{2}+\sin^{2}(y^{2})}\Bigr)\,\mathbf k
e S é a porção do paraboloide
z = x^{2}+y^{2}-25
que fica abaixo do plano z=0, orientada com a normal voltada para cima.
O conteúdo usado será o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de fluxo de \nabla\times F sobre S à integral de linha de F ao longo da curva de contorno \partial S.

Passo 2

Pelo Teorema de Stokes temos
\iint_{S} (\nabla \times F)\cdot d\mathbf S \;=\; \oint_{\partial S} F\cdot d\mathbf r.
Aqui \partial S é a interseção de S com o plano z=0, ou seja o círculo
C:\;x^{2}+y^{2}=25,\quad z=0.
Como a normal de S aponta para cima, a orientação de C é anti-horária vista do eixo z positivo.

Passo 3

Na curva C temos z=0, então
F\bigl(x,y,0\bigr)=\bigl(-y,\,x,\,e^{0+x^{2}+\sin^{2}(y^{2})}\bigr).
O elemento de curva é d\mathbf r=(dx,dy,dz), mas sobre C vale dz=0. Logo
F\cdot d\mathbf r =(-y)\,dx \;+\; x\,dy \;+\; e^{x^{2}+\sin^{2}(y^{2})}\,dz \;=\; (-y)\,dx \;+\; x\,dy.

Passo 4

Calculamos
\oint_{C}\bigl(-y\,dx + x\,dy\bigr).
Usando o Teorema de Green no disco D\colon x^{2}+y^{2}\le25:
\oint_{C}(-y\,dx + x\,dy) =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial}{\partial x}(x)\;-\;\frac{\partial}{\partial y}(-y)\Bigr)\,dA =\iint_{D}(1-(-1))\,dA =2\iint_{D}dA.
Como a área de D é \pi\cdot5^{2}=25\pi, obtemos
\oint_{C}(-y\,dx + x\,dy) =2\cdot25\pi =50\pi.

Resposta

50\pi

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