Questão 4: O campo
é conservativo? Após responder e justificar, calcule a integral abaixo, sendo
a elipse contida no plano
, de centro
e semieixos medindo 2,5 e 1 , respectivamente em relação a
e
. Considere
orientada no sentido horário quando vista de cima.
Passo 1
O enunciado fornece o campo vetorial
e pede (a) verificar se
é conservativo e (b) calcular
onde
é a elipse fechada no plano
, centrada em
, com semieixos
em
e
em
, orientada no sentido horário vista de cima. O conteúdo usado será o critério do rotacional, domínio simplesmente conexo, função potencial e integral de linha fechada.
Passo 2
Para testar conservatividade, calculamos o rotacional
Aqui
Logo
Portanto
em todo
.
Passo 3
Como o rotacional é nulo e o domínio de
é
, que é simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo.
Passo 4
Procuramos uma função potencial
tal que
.
Da componente :
Da componente
Da componente
:
Da componente
:
Assim, um potencial é
Passo 5
Para uma curva fechada
em que
exista globalmente, vale