Questão 4: O campo G(x, y, z)=(\cos (y+z),-x \operatorname{sen}(y+z),-1-x \operatorname{sen}(y+z)) é conservativo? Após responder e justificar, calcule a integral abaixo, sendo C a elipse contida no plano x=2, de centro (2,0,-3) e semieixos medindo 2,5 e 1 , respectivamente em relação a x, y e z. Considere C orientada no sentido horário quando vista de cima.
\int_{C} G . d r

Passo 1

O enunciado fornece o campo vetorial
G(x,y,z)=\bigl(\cos(y+z),\,-x\sin(y+z),\,-1 - x\sin(y+z)\bigr)
e pede (a) verificar se G é conservativo e (b) calcular
\int_{C}G\cdot d r
onde C é a elipse fechada no plano x=2, centrada em (2,0,-3), com semieixos 2,5 em y e 1 em z, orientada no sentido horário vista de cima. O conteúdo usado será o critério do rotacional, domínio simplesmente conexo, função potencial e integral de linha fechada.

Passo 2

Para testar conservatividade, calculamos o rotacional
\nabla\times G =\Bigl(R_{y}-Q_{z},\;P_{z}-R_{x},\;Q_{x}-P_{y}\Bigr).
Aqui
P=\cos(y+z),\quad Q=-x\sin(y+z),\quad R=-1 - x\sin(y+z).
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R_{y}=-x\cos(y+z),\quad Q_{z}=-x\cos(y+z) \;\Longrightarrow\;R_{y}-Q_{z}=0,
P_{z}=-\sin(y+z),\quad R_{x}=-\sin(y+z) \;\Longrightarrow\;P_{z}-R_{x}=0,
Q_{x}=-\sin(y+z),\quad P_{y}=-\sin(y+z) \;\Longrightarrow\;Q_{x}-P_{y}=0.
Portanto \nabla\times G=0 em todo \mathbb{R}^3.

Passo 3

Como o rotacional é nulo e o domínio de G é \mathbb{R}^3, que é simplesmente conexo, concluímos que G é conservativo.

Passo 4

Procuramos uma função potencial f(x,y,z) tal que \nabla f=G.
Da componente x:
f_x=\cos(y+z) \;\Longrightarrow\; f(x,y,z)=x\cos(y+z)+g(y,z).
Da componente y:
f_y=-x\sin(y+z)+g_y \overset!= -x\sin(y+z) \;\Longrightarrow\;g_y=0 \;\Longrightarrow\;g(y,z)=h(z).
Da componente z:
f_z=-x\sin(y+z)+h'(z) \overset!= -1 - x\sin(y+z) \;\Longrightarrow\;h'(z)=-1 \;\Longrightarrow\;h(z)=-z + C.
Assim, um potencial é
f(x,y,z)=x\cos(y+z)-z.

Passo 5

Para uma curva fechada C em que f exista globalmente, vale
\oint_C G\cdot dr =\oint_C \nabla f\cdot dr =0.

Resposta

0

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