Questão 2. Calcule e indique (justificando) em cada caso o método ou resultado utilizado:
a) \left(1,0\right. ponto) \int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{\left(x^{3}+1 }^{2}} d x)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{(x^{3}+1)^{2}} \, dx
O conteúdo envolvido é o de integração de funções racionais por substituição, pois o numerador x^{2}\,dx é proporcional à derivada do denominador x^{3}+1.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{3} + 1, \quad du = 3\,x^{2}\,dx \quad\Longrightarrow\quad x^{2}\,dx = \frac{du}{3}.
Quando x varia de 0 até 1, u varia de
u(0)=0^{3}+1=1 \quad\text{até}\quad u(1)=1^{3}+1=2.é
Logo, a integral em u fica
\int_{0}^{1} \frac{x^{2}}{(x^{3}+1)^{2}} \, dx = \int_{1}^{2} \frac{1}{3}\,u^{-2} \, du.

Passo 3

Calculamos a integral de u^{-2}:
\int u^{-2}\,du = -\,u^{-1} + C.
Portanto,
\int_{1}^{2} \frac{1}{3}\,u^{-2} \, du = \frac{1}{3}\Bigl[-\,u^{-1}\Bigr]_{1}^{2} = \frac{1}{3}\Bigl(-\tfrac{1}{2} + 1\Bigr).

Passo 4

Simplificando o resultado:
\frac{1}{3}\Bigl(-\tfrac{1}{2} + 1\Bigr) = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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