Questão 5. Calcule:
\int_{1}^{10} \log _{10} t d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{10} \log_{10}t \, dt.
O conteúdo aqui é integração de funções logarítmicas. Vamos usar a mudança de base para converter \log_{10}t em logaritmo natural e depois aplicar a primitivação de \ln t.

Passo 2

Fazendo a mudança de base, temos
\log_{10}t = \frac{\ln t}{\ln 10},
logo
\int_{1}^{10} \log_{10}t \, dt = \frac{1}{\ln 10}\int_{1}^{10} \ln t \, dt.

Passo 3

Precisamos da primitiva de \ln t. Sabemos que
\int \ln t \, dt = t\ln t - t + C.

Passo 4

Aplicando o limite de 1 a 10,
\int_{1}^{10} \ln t \, dt = \bigl[t\ln t - t\bigr]_{1}^{10} = (10\ln 10 - 10) - (1\cdot 0 - 1) = 10\ln 10 - 10 + 1 = 10\ln 10 - 9.
Portanto,
\int_{1}^{10} \log_{10}t \, dt = \frac{1}{\ln 10}\bigl(10\ln 10 - 9\bigr).

Passo 5

Bastaconcluir a simplificação:
\frac{1}{\ln 10}\bigl(10\ln 10 - 9\bigr) = 10 - \frac{9}{\ln 10}.

Resposta

\int_{1}^{10} \log_{10}t \, dt = \frac{10\ln 10 - 9}{\ln 10} = 10 - \frac{9}{\ln 10}.

Exercícios relacionados