Questão 2. Calcule as integrais abaixo:
\int_{-5}^{5} x^{3} \arctan (x) \sin (x) d x (integrar uma função ímpar em um intervalo simétrico)

Passo 1

Resumindo o enunciado, precisamos calcular
\int_{-5}^{5} x^{3}\,\arctan(x)\,\sin(x)\,dx.
O conteúdo aqui é a integração de uma função ímpar em um intervalo simétrico, e vamos usar a propriedade
\text{se }f\text{ é ímpar, então }\int_{-a}^{a}f(x)\,dx=0.éíã

Passo 2

Definindo
f(x)=x^{3}\,\arctan(x)\,\sin(x),
verificamos se f é ímpar:
f(-x)=(-x)^{3}\,\arctan(-x)\,\sin(-x) =-x^{3}\bigl(-\arctan(x)\bigr)\bigl(-\sin(x)\bigr) =-\,x^{3}\,\arctan(x)\,\sin(x) =-f(x).
Logo, f é ímpar.

Passo 3

Pela propriedade de integrais de funções ímpares em intervalos simétricos, temos
\int_{-5}^{5} f(x) \, dx = 0.

Resposta

0

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