Questão 3. Seja f(x)=\int_{0}^{x^{2}} e^{-t^{2}} d t. Calcule f^{\prime}(x).

Passo 1

O enunciado define
f(x)=\int_{0}^{x^{2}} e^{-t^{2}}\,dt
e pede f'(x). O conteúdo aqui é o Teorema Fundamental do Cálculo combinado com a regra da cadeia, pois o limite superior da integral é a função g(x)=x^{2}.

Passo 2

Segundo o Teorema Fundamental do Cálculo, se
F(x)=\int_{0}^{g(x)} h(t)\,dt,
então
F'(x)=h\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x).
Aqui temos h(t)=e^{-t^{2}} e g(x)=x^{2}.

Passo 3

Calculamos a derivada de g(x):
g'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.

Passo 4

Aplicando a fórmula,
f'(x)=h\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x) = e^{-\bigl(x^{2}\bigr)^{2}}\cdot 2x =2x\,e^{-x^{4}}.

Resposta

f'(x)=2x\,e^{-x^{4}}.

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