Questão 6. Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \frac{2 t^{2}+t^{2} \sqrt{t}-1}{t^{2}} d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{2 t^{2} + t^{2} \sqrt{t} - 1}{t^{2}} \,dt.
O conteúdo é manipulação de potências e soma de integrais, usando a regra
\int t^{n} \,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C.

Passo 2

Primeiro simplificamos o integrando, dividindo cada termo por t^{2}:
\frac{2 t^{2}}{t^{2}} + \frac{t^{2}\sqrt{t}}{t^{2}} - \frac{1}{t^{2}} = 2 + t^{\tfrac12} - t^{-2}.
Logo a integral vira
\int \bigl(2 + t^{\tfrac12} - t^{-2}\bigr)\,dt.

Passo 3

Agora aplicamos a integração termo a termo:
\int 2\,dt = 2t + C_1,
\int t^{\tfrac12}\,dt = \frac{t^{\tfrac32}}{\tfrac32} + C_2 = \frac{2}{3}\,t^{\tfrac32} + C_2,
\int \bigl(-t^{-2}\bigr)\,dt = - \frac{t^{-1}}{-1} + C_3 = t^{-1} + C_3.

Passo 4

Somando os resultados (e absorvendo C_1+C_2+C_3 num único C), obtemos
2t + \frac{2}{3}\,t^{\tfrac32} + t^{-1} + C.

Resposta

2t + \frac{2}{3}\,t^{\tfrac32} + \frac{1}{t} + C.

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