Questão 6. Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int(1-t)\left(2+t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int (1 - t)\,(2 + t^{2})\,dt.
Aqui usamos expansão de polinômios e a regra de potência para integrais.

Passo 2

Primeiro, expandimos o integrando:
(1 - t)(2 + t^{2}) =1\cdot2 + 1\cdot t^{2} - t\cdot2 - t\cdot t^{2} =2 + t^{2} - 2t - t^{3}.

Passo 3

Agora aplicamos a integração termo a termo usando a regra de potência \int t^{n}dt = t^{n+1}/(n+1):
\int(2 + t^{2} - 2t - t^{3})\,dt =\int 2\,dt + \int t^{2}\,dt - \int 2t\,dt - \int t^{3}\,dt.
Calculando cada uma:
\int 2\,dt = 2t,\quad \int t^{2}\,dt = \frac{t^{3}}{3},\quad \int 2t\,dt = 2\cdot\frac{t^{2}}{2}=t^{2},\quad \int t^{3}\,dt = \frac{t^{4}}{4}.

Passo 4

Somando os resultados e lembrando o +\!C:
2t + \frac{t^{3}}{3} - t^{2} - \frac{t^{4}}{4} + C.

Resposta

-\frac{t^{4}}{4} + \frac{t^{3}}{3} - t^{2} + 2t + C.

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