Questão 2: Seja E o sólido limitado pelas superficies y=10-z^{2}, y=1, z=-1, z=1, x=0 e x=2. Calcule o volume de E.

Passo 1

O enunciado nos dá um sólido E limitado pelas superfícies
\,y=10 - z^2, \,y=1, \,z=-1, \,z=1, \,x=0 e \,x=2,
e pede o volume de E. Vamos usar o conceito de integral tripla de volume, ou seja,
V = \iiint_{E} dV.

Passo 2

Para montar a integral iterada, percebemos que:
x varia entre 0 e 2.
– Para cada z em [-1,1], temos y entre a superfície inferior y=1 e a superior y=10 - z^2.
Como em [-1,1] vale z^2\le1, garantimos 10 - z^2\ge9>1, então a região em y está bem definida.

Passo 3

Escrevendo a integral iterada segundo a ordem dy\,dz\,dx, temos
V = \int_{x=0}^{2} \int_{z=-1}^{1} \int_{y=1}^{10 - z^2} dy \, dz \, dx.

Passo 4

Calcular a integral em y:
\int_{y=1}^{10 - z^2} dy = \bigl(10 - z^2\bigr) - 1 = 9 - z^2.
Logo a integral vira
V = \int_{0}^{2} \int_{-1}^{1} \bigl(9 - z^2\bigr)\,dz\,dx.

Passo 5

Calcular a integral em z:
\int_{z=-1}^{1} 9\,dz = 9\cdot 2 = 18,
\int_{z=-1}^{1} z^2\,dz = 2\int_{0}^{1} z^2\,dz = 2\cdot\frac{1^3}{3} = \frac{2}{3}.
Portanto
\int_{-1}^{1}\bigl(9 - z^2\bigr)\,dz = 18 - \frac{2}{3} = \frac{54 - 2}{3} = \frac{52}{3}.

Passo 6

Por fim, integramos em x:
V = \int_{0}^{2} \frac{52}{3}\,dx = \frac{52}{3}\cdot 2 = \frac{104}{3}.

Resposta

O volume de E é \displaystyle \frac{104}{3}.

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