Questão 4. (2.0) Calcule \int_{0}^{\sqrt{\pi}} 2 x \operatorname{sen}\left(4 x^{2}-2 \pi\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} 2x\,\operatorname{sen}\bigl(4x^{2}-2\pi\bigr)\,dx.
O conteúdo principal é a técnica de substituição em integrais, usando a derivada da função interna do seno.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = 4x^{2} - 2\pi,
então
du = 8x\,dx \quad\Longrightarrow\quad 2x\,dx = \frac{du}{4}.
Quando x=0, u(0)= -2\pi.
Quando x=\sqrt{\pi}, u(\sqrt{\pi}) = 4\pi - 2\pi = 2\pi.
Logo a integral vira
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} 2x\,\operatorname{sen}(4x^{2}-2\pi)\,dx = \int_{u=-2\pi}^{u=2\pi} \operatorname{sen}(u)\,\frac{du}{4} = \frac{1}{4}\int_{-2\pi}^{2\pi} \operatorname{sen}(u)\,du.

Passo 3

A função \operatorname{sen}(u) é ímpar, e o intervalo de integração é simétrico em torno de zero, portanto
\int_{-2\pi}^{2\pi} \operatorname{sen}(u)\,du = 0.
Logo toda a integral vale
\frac{1}{4}\times 0 = 0.

Resposta

0

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