Questão 5. (1.5) Escolha uma integral e calcule o valor de tal integral definida usando uma substituição apropriada.
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x \operatorname{sen}\left(x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.
Isso é um caso clássico de substituição trigonométrica indireta (método de substituição em integrais), pois o argumento do seno é x^2 e temos um x\,dx no integrando.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = x^{2},
então
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{du}{2}.

Passo 3

Precisamos trocar também os limites de integração. Quando x=0, u=0^{2}=0. Quando x=\sqrt{\pi}, u=(\sqrt{\pi})^{2}=\pi. Assim a integral fica
\int_{0}^{\sqrt{\pi}} x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \int_{u=0}^{u=\pi} \sin(u)\,\frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin(u)\,du.

Passo 4

Sabemos que
\int \sin(u)\,du = -\cos(u).
Logo
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi}\sin(u)\,du = \frac{1}{2}\bigl[-\cos(u)\bigr]_{0}^{\pi}.

Passo 5

Aplicando os limites:
-\cos(\pi) - \bigl(-\cos(0)\bigr) = -(-1) - \bigl(-1\bigr) = 1 + 1 = 2.
Multiplicando por \tfrac12, obtemos
\frac{1}{2}\times 2 = 1.

Resposta

O valor da integral é 1.

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