Questão 5. (1.5) Escolha uma integral e calcule o valor de tal integral definida usando uma substituição apropriada.
\int_{0}^{2} \frac{x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\frac{x}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{2}}\,dx
usando uma substituição apropriada. O conteúdo aqui é a técnica de integração por substituição, que consiste em identificar uma parte da função cujo diferencial aparece multiplicando-a.

Passo 2

Observamos que a expressão \bigl(1+x^{2}\bigr) está elevada ao quadrado e que seu derivado em relação a x é propor­cional a x. Assim, fazemos a substituição
u = 1 + x^{2}.
Dessa forma,
du = 2x\,dx \quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \frac{1}{2}\,du.

Passo 3

Precisamos também transformar os limites de integração. Quando x=0,
u = 1 + 0^{2} = 1.
Quando x=2,
u = 1 + 2^{2} = 5.
Logo, a integral em x passa a ser uma integral em u nos limites de 1 a 5.

Passo 4

Substituindo na integral original, obtemos
\int_{0}^{2}\frac{x}{\bigl(1+x^{2}\bigr)^{2}}\,dx = \int_{u=1}^{u=5}\frac{1}{u^{2}}\cdot\frac{1}{2}\,du = \frac{1}{2}\int_{1}^{5}u^{-2}\,du.
Agora integramos u^{-2}:
\int u^{-2}\,du = -\,u^{-1} + C.
Então
\frac{1}{2}\int_{1}^{5}u^{-2}\,du = \frac{1}{2}\bigl[-u^{-1}\bigr]_{1}^{5} = \frac{1}{2}\Bigl(-\frac{1}{5} + \frac{1}{1}\Bigr).

Passo 5

Calculando a expressão entre colchetes:
-\frac{1}{5} + 1 = \frac{4}{5}.
Multiplicando por \tfrac{1}{2}, temos
\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{5} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{5}

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