Questão 5. (1.5) Escolha uma integral e calcule o valor de tal integral definida usando uma substituição apropriada.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
usando uma substituição apropriada. O conteúdo aqui é a técnica de integração por substituição, que consiste em identificar uma parte da função cujo diferencial aparece multiplicando-a.
Passo 2
Observamos que a expressão
está elevada ao quadrado e que seu derivado em relação a
é proporcional a
. Assim, fazemos a substituição
Dessa forma,
Passo 3
Precisamos também transformar os limites de integração. Quando
,
Quando
,
Logo, a integral em
passa a ser uma integral em
nos limites de
a
.
Passo 4
Substituindo na integral original, obtemos
Agora integramos
:
Então
Passo 5
Calculando a expressão entre colchetes:
Multiplicando por
, temos