Questão 5. (2.0) Calcule
\int(2 x+1) \ln \left(x^{2}+x\right) d x
Observação: Uma maneira de resolver é por integração por partes, escolhendo apropriadamente u e d v.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a antiderivada
\int (2x+1)\,\ln\bigl(x^{2}+x\bigr)\,dx
O método indicado é integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln\bigl(x^{2}+x\bigr), \quad dv = (2x+1)\,dx.
Então
du = \frac{d}{dx}\ln\bigl(x^{2}+x\bigr)\,dx = \frac{2x+1}{x^{2}+x}\,dx,
v = \int(2x+1)\,dx = x^{2}+x.

Passo 3

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int (2x+1)\,\ln\bigl(x^{2}+x\bigr)\,dx = u\,v - \int v\,du = (x^{2}+x)\,\ln\bigl(x^{2}+x\bigr) - \int (x^{2}+x)\,\frac{2x+1}{x^{2}+x}\,dx.
Dentro da integral sobra
(x^{2}+x)\,\frac{2x+1}{x^{2}+x} = 2x+1,
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\int (2x+1)\,\ln\bigl(x^{2}+x\bigr)\,dx = (x^{2}+x)\,\ln\bigl(x^{2}+x\bigr) - \int (2x+1)\,dx.

Passo 4

Calculemos \displaystyle \int(2x+1)\,dx = x^{2}+x. Portanto
\int (2x+1)\,\ln\bigl(x^{2}+x\bigr)\,dx = (x^{2}+x)\,\ln\bigl(x^{2}+x\bigr) - \bigl(x^{2}+x\bigr) + C.

Resposta

(x^{2}+x)\,\ln\bigl(x^{2}+x\bigr)\;-\;(x^{2}+x)\;+\;C.

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