Questão 2. Calcule as integrais abaixo:
integral0^pi3 tan ^5 x sec x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^pi3 tan^5x ,sec x,dx
O conteúdo envolvido é integração de funções trigonométricas usando substituição e identidades como tan^2x=sec^2x-1.

Passo 2

Para facilitar, separamos
tan^5x,sec x = tan^4x;l(tan x,sec xr)
e usamos a identidade
tan^4x = (tan^2x)^2 = (sec^2x - 1)^2
Assim a integral fica
integral0^pi3 (sec^2x - 1)^2,l(tan x,sec xr),dx

Passo 3

Fazemos a substituição
u = sec x, du = sec x,tan x,dx
Quando x=0, u=sec0=1. Quando x=tfracpi3, u=sec(tfracpi3)=2. Portanto a integral torna-se
integralu=1^u=2 (u^2-1)^2,du

Passo 4

Expandimos o integrando e integramos termo a termo:
(u^2-1)^2 = u^4 - 2u^2 + 1,
integral (u^4-2u^2+1),du = u^55 - 2u^33 + u

Passo 5

Avaliamo-lo de u=1 a u=2:
[u^55 - 2u^33 + u]1^2 = l(325 - 163 + 2r) - l(15 - 23 + 1r)
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 15:
96+30-8015 - 3+15-1015 = 4615 - 815 = 3815

Resposta

integral0^pi3 tan^5x ,sec x,dx = 3815

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