Questão 1: Calcule as integrais (definidas e indefinidas) abaixo:
\int_{0}^{\pi / 2} \operatorname{sen}(x)+3 \cos (x) d x

Passo 1

O enunciado pede que calculemos as integrais definida e indefinida de
\int_{0}^{\pi/2}\operatorname{sen}(x)+3\cos(x)\,dx.
Observações importantes fornecidas pelo enunciado:
  • A função a integrar é \operatorname{sen}(x)+3\cos(x). Vou escrever \operatorname{sen}(x) como \sin(x) (mesma coisa).
  • Precisamos do resultado indefinido (antiderivada, com constante C) e do resultado definido entre x=0 e x=\pi/2.

Passo 2

Regra básica que vamos usar: linearidade da integral. Ela diz que, para funções f e g e constante a,
\int (f(x)+g(x))\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx,
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
Isso permite separar \int (\sin x + 3\cos x)\,dx em duas integrais mais simples.

Passo 3

Precisamos saber as primitivas de \sin x e \cos x. Lembrete / pequeno “aula”:
  • A derivada de \cos x é -\sin x. Logo, uma primitiva de \sin x é -\cos x, porque
\frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x.
  • A derivada de \sin x é \cos x. Logo, uma primitiva de \cos x é \sin x, porque
\frac{d}{dx}(\sin x)=\cos x.
Cada primitiva tem ainda uma constante arbitrária C.

Passo 4

Usando linearidade e as primitivas acima:
\int (\sin x + 3\cos x)\,dx = \int \sin x\,dx + 3\int \cos x\,dx.
Substituindo as primitivas:
\int \sin x\,dx = -\cos x + C_1,\qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C_2.
Portanto, reunindo termos e colocando uma única constante C,
\int (\sin x + 3\cos x)\,dx = -\cos x + 3\sin x + C.

Passo 5

Agora a integral definida. Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se F é uma primitiva de f, então
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Escolhemos a primitiva F(x) = -\cos x + 3\sin x obtida antes.

Passo 6

Avaliar F nos limites 0 e \pi/2. Precisamos dos valores trigonométricos básicos:
\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)=0,\qquad \sin\left(\frac{\pi}{2}\right)=1,
\cos(0)=1,\qquad \sin(0)=0.
Substituindo:
F\left(\frac{\pi}{2}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + 3\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -0 + 3\cdot1 = 3,
F(0) = -\cos(0) + 3\sin(0) = -1 + 3\cdot0 = -1.

Passo 7

Calcular a diferença:
\int_{0}^{\pi/2} (\sin x + 3\cos x)\,dx = F\left(\frac{\pi}{2}\right)-F(0) = 3 - (-1) = 4.

Passo 8

Exemplo rápido para fixar: se eu tivesse \int (2\sin x - \cos x)\,dx, aplico as mesmas regras:
\int 2\sin x\,dx = 2(-\cos x) = -2\cos x,\qquad \int -\cos x\,dx = -\sin x,
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\int (2\sin x - \cos x)\,dx = -2\cos x - \sin x + C.
É o mesmo raciocínio, só agrupando termos.

Resposta

\displaystyle \int (\sin x + 3\cos x)\,dx = -\cos x + 3\sin x + C
\displaystyle \int_{0}^{\pi/2} (\sin x + 3\cos x)\,dx = 4

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