Questão 1: Calcule as integrais (definidas e indefinidas) abaixo:
Passo 1
O enunciado pede que calculemos as integrais definida e indefinida de
Observações importantes fornecidas pelo enunciado:
- A função a integrar é
. Vou escrever como (mesma coisa). - Precisamos do resultado indefinido (antiderivada, com constante
) e do resultado definido entre e .
Passo 2
Regra básica que vamos usar: linearidade da integral. Ela diz que, para funções
e
e constante
,
Isso permite separar
em duas integrais mais simples.
Passo 3
Precisamos saber as primitivas de
e
. Lembrete / pequeno “aula”:
- A derivada de
é . Logo, uma primitiva de é , porque
- A derivada de
é . Logo, uma primitiva de é , porque
Cada primitiva tem ainda uma constante arbitrária
.
Passo 4
Usando linearidade e as primitivas acima:
Substituindo as primitivas:
Portanto, reunindo termos e colocando uma única constante
,
Passo 5
Agora a integral definida. Usamos o Teorema Fundamental do Cálculo: se
é uma primitiva de
, então
Escolhemos a primitiva
obtida antes.
Passo 6
Avaliar
nos limites
e
. Precisamos dos valores trigonométricos básicos:
Substituindo:
Passo 7
Calcular a diferença:
Passo 8
Exemplo rápido para fixar: se eu tivesse
, aplico as mesmas regras:
logo
É o mesmo raciocínio, só agrupando termos.