Questão 6) Calcule as integrais duplas abaixo:
\int_{-1}^{1} \int_{0}^{1} e^{x} d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada
\int_{-1}^{1}\int_{0}^{1} e^{x}\,dy\,dx.
Informações dadas:
  • A variável de integração interna é y, com limites 0 a 1.
  • A variável de integração externa é x, com limites -1 a 1.
  • A função integranda é e^{x}, que depende apenas de x (não depende de y).
    A tarefa é avaliar esse integral numérico.

Passo 2

Ideia principal (explicação didática): quando a integranda não depende de uma das variáveis, a integral nessa variável é simplesmente a função (que não depende dela) multiplicada pelo comprimento do intervalo de integração dessa variável.
Mais formalmente: se \,f(x,y)=g(x)\, então
\int_{a}^{b}\int_{c}^{d} g(x)\,dy\,dx = \int_{a}^{b} \Bigg( g(x)\int_{c}^{d} dy \Bigg)\,dx = \int_{a}^{b} g(x)\,(d-c)\,dx.
Aqui g(x)=e^{x}, c=0, d=1, logo o comprimento do intervalo em y é d-c=1-0=1.

Passo 3

Calcule a integral interna em y:
\int_{0}^{1} e^{x}\,dy.
Como e^{x} é constante em relação a y, pode-se tratar como constante dentro da integral em y, obtendo
\int_{0}^{1} e^{x}\,dy = e^{x}\cdot\bigl[y\bigr]_{0}^{1}=e^{x}\cdot(1-0)=e^{x}.

Passo 4

Agora a integral dupla reduz-se à integral simples em x:
\int_{-1}^{1} e^{x}\,dx.
Lembrete: a primitiva (antiderivada) de e^{x} é e^{x} (essa é uma propriedade fundamental e muito conveniente).

Passo 5

Calcule a integral definida usando a primitiva:
\int_{-1}^{1} e^{x}\,dx = \bigl[e^{x}\bigr]_{-1}^{1} = e^{1}-e^{-1}.
Opcionalmente pode-se escrever de forma equivalente como
e - \frac{1}{e} = \frac{e^{2}-1}{e}.

Resposta

\;e - e^{-1}

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