Questão 6) Calcule as integrais duplas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada
Informações dadas:
- A variável de integração interna é
, com limites a . - A variável de integração externa é
, com limites a . - A função integranda é
, que depende apenas de (não depende de ).
A tarefa é avaliar esse integral numérico.
Passo 2
Ideia principal (explicação didática): quando a integranda não depende de uma das variáveis, a integral nessa variável é simplesmente a função (que não depende dela) multiplicada pelo comprimento do intervalo de integração dessa variável.
Mais formalmente: se
então
Aqui
,
,
, logo o comprimento do intervalo em
é
.
Passo 3
Calcule a integral interna em
:
Como
é constante em relação a
, pode-se tratar como constante dentro da integral em
, obtendo
Passo 4
Agora a integral dupla reduz-se à integral simples em
:
Lembrete: a primitiva (antiderivada) de
é
(essa é uma propriedade fundamental e muito conveniente).
Passo 5
Calcule a integral definida usando a primitiva:
Opcionalmente pode-se escrever de forma equivalente como