Questão 2.(2.0) Calcule a integral tripla \iiint_{K} \ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z onde K=\left\{(x, y, z): 16 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 25, x>, y>0, z>0\right\}. Passo 1O enunciado pede a integral tripla \iiint_{K}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dx\,dy\,dz no conjunto K=\{(x,y,z)\mid 16\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le25,\;x>0,\;y>0,\;z>0\}. Como a região é uma “casca” esférica (entre esferas de raio 4 e 5) restrita ao primeiro octante, vamos usar coordenadas esféricas. Precisamos do jacobiano \rho^{2}\sin\varphi e da expressão da função em termos de \rho. Passo 2Em coordenadas esféricas definimos \begin{cases} x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\\\ y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\\\ z=\rho\cos\varphi, \end{cases} onde \rho\in[4,5], \varphi\in[0,\pi/2], \theta\in[0,\pi/2]. O integrando vira \ln\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)=\ln(\rho^{2})=2\ln\rho e o elemento de volume é \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Logo a integral fica \int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{4}^{5}2\ln(\rho)\,\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Passo 3Separamos em parte angular e parte radial. A parte angular é \int_{0}^{\pi/2}d\theta\;\times\;\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi =\frac{\pi}{2}\times1 =\frac{\pi}{2}. Resta a parte radial \int_{4}^{5}2\,\rho^{2}\ln\rho\,d\rho. Passo 4Para calcular I=\int2\,\rho^{2}\ln\rho\,d\rho use integração por partes: tome u=\ln\rho, dv=2\rho^{2}d\rho. Então du=\frac{d\rho}{\rho},\quad v=\frac{2\rho^{3}}{3}. Logo I =\frac{2\rho^{3}}{3}\ln\rho -\int\frac{2\rho^{3}}{3}\cdot\frac{d\rho}{\rho} =\frac{2\rho^{3}}{3}\ln\rho -\frac{2}{3}\int\rho^{2}d\rho =\frac{2\rho^{3}}{3}\ln\rho -\frac{2\rho^{3}}{9}. Avaliando de \rho=4 a \rho=5 dá \Bigl[\frac{2\rho^{3}}{3}\ln\rho-\frac{2\rho^{3}}{9}\Bigr]_{4}^{5} =\Bigl(\frac{250}{3}\ln5-\frac{250}{9}\Bigr) -\Bigl(\frac{128}{3}\ln4-\frac{128}{9}\Bigr). Passo 5Subtraindo e multiplicando pelo fator angular \pi/2, obtemos \frac{\pi}{2}\Bigl[ \frac{250}{3}\ln5-\frac{128}{3}\ln4 -\bigl(\tfrac{250}{9}-\tfrac{128}{9}\bigr) \Bigr] =\pi\biggl[\frac{750\ln5-384\ln4-122}{18}\biggr]. Note que \ln4=2\ln2, então fica \frac{\pi}{18}\Bigl(750\ln5-768\ln2-122\Bigr) =\frac{\pi}{9}\Bigl(375\ln5-384\ln2-61\Bigr). Resposta \frac{\pi}{9}\Bigl(375\ln5-384\ln2-61\Bigr). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionadosQuestão 1.(2.0) Calcule as integrais duplas \iint_{L} \frac{1}{e^{x^{2}+y^{2}}}} d x d y, onde L é a região no primeiro quadrante entre os arcos de círculos x^{2}+y^{2}=4 e x^{2}+y^{2}=9. Questão 1.(2.0) Calcule as integrais duplas \iint_{K} y^{3} \cos x d x d y, onde K=\left\{(x, y): x>0, y>x^{2}, y<10-x\right\}. Questão 3.(2.0) a) Decida se \vec{F}(x, y, z)=\left(x^{2}+\frac{1}{x}, \ln (y+1), z\right) definido em x>0, y>-1, z \in \mathbb{R}, é campo de gradiente. Justifique. b) Calcule \int_{\alpha} \vec{F}(x, y, z) d s onde \alpha é o segmento de reta ligando os pontos A=(1,0,2) e B=(1,1,1). Questão 4.(2.0) Marque a alternativa correta. Seja a função f(x, y, z)=z^{2} x e^{x} \cos (y z) Uma partícula movimenta-se ao longo de uma curva \alpha do ponto \left(0,-\frac{2}{5}, \frac{\pi}{4}\right) ao ponto \left(3,5,-\frac{\pi}{2}\right). Se a força agindo sobre a partícula é \nabla f, então o trabalho feito sobre a partícula é a) negativo b) 0 c) positivo d) desconhecido sendo \alpha desconhecida.