Questão 2.(2.0) Calcule a integral tripla
\iiint_{K} \ln \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) d x d y d z
onde K=\left\{(x, y, z): 16 \leq x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 25, x>, y>0, z>0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede a integral tripla
\iiint_{K}\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\,dx\,dy\,dz
no conjunto
K=\{(x,y,z)\mid 16\le x^{2}+y^{2}+z^{2}\le25,\;x>0,\;y>0,\;z>0\}.
Como a região é uma “casca” esférica (entre esferas de raio 4 e 5) restrita ao primeiro octante, vamos usar coordenadas esféricas. Precisamos do jacobiano \rho^{2}\sin\varphi e da expressão da função em termos de \rho.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
\begin{cases} x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\\\ y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\\\ z=\rho\cos\varphi, \end{cases}
onde \rho\in[4,5], \varphi\in[0,\pi/2], \theta\in[0,\pi/2]. O integrando vira
\ln\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)=\ln(\rho^{2})=2\ln\rho
e o elemento de volume é \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta. Logo a integral fica
\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{0}^{\pi/2}\!\!\int_{4}^{5}2\ln(\rho)\,\rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 3

Separamos em parte angular e parte radial. A parte angular é
\int_{0}^{\pi/2}d\theta\;\times\;\int_{0}^{\pi/2}\sin\varphi\,d\varphi =\frac{\pi}{2}\times1 =\frac{\pi}{2}.
Resta a parte radial
\int_{4}^{5}2\,\rho^{2}\ln\rho\,d\rho.

Passo 4

Para calcular
I=\int2\,\rho^{2}\ln\rho\,d\rho
use integração por partes: tome u=\ln\rho, dv=2\rho^{2}d\rho. Então
du=\frac{d\rho}{\rho},\quad v=\frac{2\rho^{3}}{3}.
Logo
I =\frac{2\rho^{3}}{3}\ln\rho -\int\frac{2\rho^{3}}{3}\cdot\frac{d\rho}{\rho} =\frac{2\rho^{3}}{3}\ln\rho -\frac{2}{3}\int\rho^{2}d\rho =\frac{2\rho^{3}}{3}\ln\rho -\frac{2\rho^{3}}{9}.
Avaliando de \rho=4 a \rho=5
\Bigl[\frac{2\rho^{3}}{3}\ln\rho-\frac{2\rho^{3}}{9}\Bigr]_{4}^{5} =\Bigl(\frac{250}{3}\ln5-\frac{250}{9}\Bigr) -\Bigl(\frac{128}{3}\ln4-\frac{128}{9}\Bigr).

Passo 5

Subtraindo e multiplicando pelo fator angular \pi/2, obtemos
\frac{\pi}{2}\Bigl[ \frac{250}{3}\ln5-\frac{128}{3}\ln4 -\bigl(\tfrac{250}{9}-\tfrac{128}{9}\bigr) \Bigr] =\pi\biggl[\frac{750\ln5-384\ln4-122}{18}\biggr].
Note que \ln4=2\ln2, então fica
\frac{\pi}{18}\Bigl(750\ln5-768\ln2-122\Bigr) =\frac{\pi}{9}\Bigl(375\ln5-384\ln2-61\Bigr).

Resposta

\frac{\pi}{9}\Bigl(375\ln5-384\ln2-61\Bigr).

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