Questão 2. Calcule as integrais duplas:
\iint_{D} \frac{1}{\log y} d x d y \quad onde \quad D:=\{(x, y) \mid 2 \leq y \leq 3,0 \leq x \leq 1 / y\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
I = \iint_{D} \frac{1}{\log y}\,dx\,dy
sobre a região
D = \{(x,y)\mid 2 \le y \le 3,\;0 \le x \le 1/y\}.
O conteúdo aqui é aplicação da regra de Fubini para separar a integral em x e y, seguida de uma substituição simples para resolver a integral em y.

Passo 2

Como os limites em x não dependem de x (mas só de y), podemos usar Fubini e escrever
I = \int_{y=2}^{3} \Bigl(\int_{x=0}^{1/y} \frac{1}{\log y}\,dx\Bigr)\,dy.

Passo 3

A integral interna em x é imediata, pois \tfrac1{\log y} é constante em relação a x:
\int_{0}^{1/y} \frac{1}{\log y}\,dx = \frac{1}{\log y}\;\bigl[x\bigr]_{0}^{1/y} = \frac{1}{\log y}\;\frac{1}{y} = \frac{1}{y\,\log y}.
Logo
I = \int_{2}^{3} \frac{1}{y\,\log y}\,dy.

Passo 4

Para resolver
\int_{2}^{3} \frac{1}{y\,\log y}\,dy
fazemos a substituição
u = \ln y,\quad du = \frac{1}{y}\,dy.
Quando y=2, u=\ln2; quando y=3, u=\ln3.

Passo 5

Em u a integral fica
\int_{\ln2}^{\ln3} \frac{1}{u}\,du = \bigl[\ln|u|\bigr]_{\ln2}^{\ln3} = \ln(\ln3) - \ln(\ln2) = \ln\!\Bigl(\frac{\ln3}{\ln2}\Bigr).

Resposta

\boxed{I = \ln\!\Bigl(\frac{\ln3}{\ln2}\Bigr).}

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