Questão 2. Calcule as integrais duplas:
\iint_{D} x y d x d y onde D:=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 2, y \leq x, x \geq 0\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\iint_{D} x\,y\,dx\,dy
onde
D = \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le2,\;y\le x,\;x\ge0\}.
O conteúdo é mudança para coordenadas polares, usando x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e o Jacobiano r.

Passo 2

Descrevemos D em polares. A condição x^{2}+y^{2}\le2 vira 0\le r\le\sqrt2. A restrição x\ge0 -\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}. E y\le x equivale a \theta\le\pi/4. Logo
-\tfrac{\pi}{2}\;\le\;\theta\;\le\;\tfrac{\pi}{4}, \quad 0\;\le\;r\;\le\;\sqrt2.

Passo 3

Na integral, substituímos
x\,y = (r\cos\theta)(r\sin\theta)=r^{2}\cos\theta\sin\theta,
e dx\,dy = r\,dr\,d\theta. Assim a integral vira
\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/4}\!\int_{r=0}^{\sqrt2} r^{2}\cos\theta\sin\theta\;\bigl(r\,dr\,d\theta\bigr) = \int_{-\pi/2}^{\pi/4}\cos\theta\sin\theta \;\biggl(\int_{0}^{\sqrt2}r^{3}dr\biggr)d\theta.

Passo 4

Calculamos a parte radial:
\int_{0}^{\sqrt2}r^{3}dr =\left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{\sqrt2} =\frac{(\sqrt2)^{4}}{4} =\frac{4}{4} =1.
Logo a integral reduz-se a
\int_{-\pi/2}^{\pi/4}\cos\theta\sin\theta\,d\theta.

Passo 5

Para integrar \cos\theta\sin\theta, usamos a substituição u=\sin\theta, du=\cos\theta\,d\theta, obtendo
\int\cos\theta\sin\theta\,d\theta =\int u\,du =\frac{u^{2}}{2} =\frac{\sin^{2}\theta}{2}.
Avaliaremos de \theta=-\tfrac{\pi}{2} a \tfrac{\pi}{4}:
\left.\frac{\sin^{2}\theta}{2}\right|_{-\pi/2}^{\pi/4} =\frac{\sin^{2}(\pi/4)}{2} -\frac{\sin^{2}(-\pi/2)}{2} =\frac{\tfrac12}{2} -\frac{1}{2} =\frac{1}{4}-\frac{1}{2} =-\frac{1}{4}.

Resposta

-\frac{1}{4}.

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