Usando mudança de variáveis, calcule as integrais duplas:
\iint_{D} x^{2}+2 y x d y onde D:=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leq 4\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\iint_{D}\bigl(x^{2}+2yx\bigr)\,dA
onde
D = \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le4\}.
O conteúdo é mudança de variáveis em integrais duplas, e vamos usar coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares fazemos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
e o elemento de área transforma-se como
dA = r\,dr\,d\theta.

Passo 3

O integrando em termos de (r,\theta) fica
x^{2}+2yx = (r\cos\theta)^{2} + 2\,(r\sin\theta)(r\cos\theta) = r^{2}\bigl(\cos^{2}\theta + 2\sin\theta\cos\theta\bigr) = r^{2}\bigl(\cos^{2}\theta + \sin2\theta\bigr).

Passo 4

O domínio D vira
0 \le r \le 2,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.
Logo a integral passa a ser
\iint_{D}(x^{2}+2yx)\,dA =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2} r^{2}\bigl(\cos^{2}\theta + \sin2\theta\bigr)\,r\,dr\,d\theta =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}r^{3}\bigl(\cos^{2}\theta + \sin2\theta\bigr)\,dr\,d\theta.

Passo 5

Separamos em duas integrais:
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}r^{3}\cos^{2}\theta\,dr\,d\theta \;+\; \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}r^{3}\sin2\theta\,dr\,d\theta.
O termo em r é igual em ambas, e
\int_{0}^{2}r^{3}\,dr = \frac{r^{4}}{4}\Big|_{0}^{2} = 4.
Fica
4\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta \;+\; 4\int_{0}^{2\pi}\sin2\theta\,d\theta.

Passo 6

Usamos as fórmulas conhecidas:
\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \pi, \quad \int_{0}^{2\pi}\sin2\theta\,d\theta = 0.
Portanto a integral total é
4\pi + 4\cdot 0 = 4\pi.

Resposta

4\pi

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