Verifique que as hipóteses do Teorema de Lagrange ou Teorema do Valor Médio são satisfafeit pela função f no intervalo I. Em seguida, obtenha um
que satisfaça a tese do teorema.
e
Passo 1
O enunciado pede para verificar as hipóteses do Teorema de Lagrange (Teorema do Valor Médio) para a função
no intervalo
, e em seguida encontrar um
tal que
Para isso vamos mostrar que
é contínua em
, derivável em
, calcular a taxa média de variação e depois resolver a equação para
.
Passo 2
A função
é contínua e derivável em
, e
é polinomial (logo contínua e derivável em toda parte). Como para todo
temos
, o domínio de
contém o intervalo dado. Portanto
é contínua em
e derivável em
.
Passo 3
Calculamos os valores nos extremos:
A taxa média de variação em
é
Passo 4
Derivamos
em
usando a regra da cadeia:
Passo 5
Igualamos
à taxa média:
Multiplicando em cruz e elevando ao quadrado, vem
Como
e
, precisamos de
, ou seja
. Logo