Questão 6. Calcule as integrais indefinidas abaixo:
\int \sin x+\operatorname{sinh} x d x

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral indefinida
\int\bigl(\sin x + \operatorname{sinh} x\bigr)\,dx.
O conteúdo usado aqui é a linearidade da integral e as primitivas conhecidas de funções elementares.

Passo 2

Usando a propriedade de linearidade da integral, separamos em duas partes:
\int\bigl(\sin x + \operatorname{sinh} x\bigr)\,dx = \int \sin x\,dx \;+\;\int \operatorname{sinh} x\,dx.

Passo 3

Agora lembramos as primitivas:
  • Para \sin x, temos
\int \sin x\,dx = -\cos x,
pois \frac{d}{dx}(-\cos x)=\sin x.
  • Para \operatorname{sinh} x, temos
\int \operatorname{sinh} x\,dx = \operatorname{cosh} x,
pois \frac{d}{dx}(\operatorname{cosh} x)=\operatorname{sinh} x.

Passo 4

Somando as duas partes e incluindo a constante de integração C, obtemos
-\cos x + \operatorname{cosh} x + C.

Resposta

-\cos x + \operatorname{cosh} x + C

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