Questão 1: Calcule as integrais.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Dados importantes fornecidos:
- A variável de integração é
. - A integranda é a soma das quatro funções:
, , e . - Queremos uma primitiva (integral indefinida), então devemos incluir a constante de integração
.
Passo 2
Primeiro conceito que vamos usar: linearidade da integral. Isso significa duas propriedades úteis:
e
onde
é constante. Na prática, podemos separar a integral dada em quatro integrais mais simples e puxar constantes para fora.
Exemplo curto:
.
Passo 3
Revisão das regras de integração que vamos aplicar:
- Regra do termo constante:
, onde é constante. - Regra da potência:
, para . Aqui é o expoente.
Exemplo:. - Integral da função seno:
. (Pois , logo derivando volta .) - Note que
, então aplicamos a regra da potência com .
Passo 4
Agora aplicamos a linearidade e as regras termo a termo.
Separe a integral:
Calcule cada integral:
-
. (Regra do termo constante.) -
. (Regra da integral do seno.) -
(Regra da potência com .) -
Como na integranda havia um sinal negativo, temos
Passo 5
Juntando todos os termos obtidos e adicionando a constante de integração
, a primitiva da integranda é:
Se quisermos, podemos ordenar os termos de forma mais “camilhonada” (por potências de
decrescentes), mas o essencial é esse resultado. Força aí — você já sabe como aplicar linearidade, regra da potência e a integral do seno!