Questão 1: Calcule as integrais.
\int-1+\operatorname{sen} y+6 y-\sqrt{y} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int -1+\operatorname{sen} y+6 y-\sqrt{y}\,dy.
Dados importantes fornecidos:
  • A variável de integração é y.
  • A integranda é a soma das quatro funções: -1, \operatorname{sen} y, 6y e -\sqrt{y}.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), então devemos incluir a constante de integração C.

Passo 2

Primeiro conceito que vamos usar: linearidade da integral. Isso significa duas propriedades úteis:
\int (f(y)+g(y))\,dy = \int f(y)\,dy + \int g(y)\,dy
e
\int c\cdot f(y)\,dy = c\int f(y)\,dy,
onde c é constante. Na prática, podemos separar a integral dada em quatro integrais mais simples e puxar constantes para fora.
Exemplo curto: \int (2y+3)\,dy = \int 2y\,dy + \int 3\,dy = 2\int y\,dy + 3\int 1\,dy.

Passo 3

Revisão das regras de integração que vamos aplicar:
  • Regra do termo constante: \displaystyle \int a\,dy = a y + C, onde a é constante.
  • Regra da potência: \displaystyle \int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1}+C, para n\neq -1. Aqui n é o expoente.
    Exemplo: \displaystyle \int y\,dy = \int y^{1}\,dy = \frac{y^{2}}{2}+C.
  • Integral da função seno: \displaystyle \int \sin y\,dy = -\cos y + C. (Pois \frac{d}{dy}(\cos y) = -\sin y, logo derivando -\cos y volta \sin y.)
  • Note que \sqrt{y} = y^{1/2}, então aplicamos a regra da potência com n=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Agora aplicamos a linearidade e as regras termo a termo.
Separe a integral:
\int \big(-1+\operatorname{sen} y+6 y-\sqrt{y}\big)\,dy = \int -1\,dy + \int \operatorname{sen} y\,dy + \int 6y\,dy - \int \sqrt{y}\,dy.
Calcule cada integral:
  1. \displaystyle \int -1\,dy = -y. (Regra do termo constante.)
  2. \displaystyle \int \operatorname{sen} y\,dy = -\cos y. (Regra da integral do seno.)
  3. \displaystyle \int 6y\,dy = 6\int y\,dy = 6\cdot\frac{y^{2}}{2} = 3y^{2}. (Regra da potência com n=1.)
  4. \displaystyle \int \sqrt{y}\,dy = \int y^{1/2}\,dy = \frac{y^{1/2+1}}{1/2+1} = \frac{y^{3/2}}{3/2} = \frac{2}{3}y^{3/2}.
    Como na integranda havia um sinal negativo, temos -\int \sqrt{y}\,dy = -\frac{2}{3}y^{3/2}.

Passo 5

Juntando todos os termos obtidos e adicionando a constante de integração C, a primitiva da integranda é:
-y -\cos y + 3y^{2} - \frac{2}{3}y^{3/2} + C.
Se quisermos, podemos ordenar os termos de forma mais “camilhonada” (por potências de y decrescentes), mas o essencial é esse resultado. Força aí — você já sabe como aplicar linearidade, regra da potência e a integral do seno!

Resposta

-y-\cos y+3y^{2}-\dfrac{2}{3}y^{3/2}+C

Exercícios relacionados