Questão 4
Calcule a integral
integral t sec ^2(2 t) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral t,sec^2(2t),dt
Isso envolve produto de função polinomial por função trigonométrica derivável em forma de secante ao quadrado. O método mais direto aqui é integração por partes.

Passo 2

Escolhemos as partes de integração por partes:
u = t, dv = sec^2(2t),dt
Então
du = dt
e para obter v calculamos
v = integral sec^2(2t),dt

Passo 3

Para achar v usamos substituição simples: seja w=2t, logo dw=2,dt,
integral sec^2(2t),dt = integral sec^2(w),dw2 = 12tan(w) = 12tan(2t)
Portanto v = tfrac12tan(2t).

Passo 4

Aplicando fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du
ficamos com
integral t,sec^2(2t),dt = tcdot12tan(2t) - integral 12tan(2t),dt

Passo 5

Resta calcular
integral tan(2t),dt
Usando integral tan(x),dx=-lnlvertcos(x)rvert e substituindo x=2t, obtemos
integral tan(2t),dt =-12lnllvertcos(2t)rrvert
Assim
integral t,sec^2(2t),dt = t2tan(2t) - 12l(-12lnlvertcos(2t)rvertr) = t2tan(2t) + 14lnllvertcos(2t)rrvert + C

Resposta

boxedintegral t,sec^2(2t),dt = t2,tan(2t) + 14,lnllvertcos(2t)rrvert + C

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