Questão 2. O volume de um cone circular reto é dado por V=13 pi R^2 H, onde R é o raio da base e Hé a altura do cone. Suponha que a reta que contém a geratriz do cone não se altera e que a taxa de variação do volume é sempre igual a pi m^3 / s. Além disso, no tempo to, suponha que R(t0)=10 e H(t0)=15.
(i) Qual a taxa de variação do raio, quando R(t)=10.2 m ?
(1.75 pontos)
(ii) Qual o valor do raio do cone quando a taxa de variação do raio, no tempo t, for igual a (2 / 27) m / s ? O volume está crescendo ou decrescendo?
(1.75 ponto)
Sugestões:
(1) Por semelhança de triângulos, tem-se que H(t)=H(t0)R(t0) R(t).
(2) Lembre-se de que V, R e H são funções do tempo. Portanto, use a regra do produto para derivar R^2(t) cdot H(t). Além disso, use a Regra da Cadeia para derivar a função R^2(t).

Passo 1

Temos um cone circular reto com volume dado por V=tfrac13pi R^2H, onde R=R(t) e H=H(t) variam no tempo. A reta geratriz é fixa, então o comprimento da geratriz é constante, o que implica que a razão H/R permanece igual a H(t0)/R(t0)=15/10=3/2. Além disso, foi dado que dV/dt=pi,m^3/s. Vamos usar cálculo de taxas relacionadas e semelhança de triângulos para achar dR/dt e o raio quando dR/dt=2/27,m/s.

Passo 2

Pela semelhança de triângulos,
H(t)=H(t0)R(t0),R(t)=1510R(t)=32R(t)
Substituindo em V=tfrac13pi R^2H obtemos uma expressão só em função de R:
V=13pi R^2cdot32R=12pi R^3

Passo 3

Agora derivamos em relação ao tempo usando regra da cadeia:
dVdt=12picdot3R^2dRdt=32pi R^2dRdt
Isolando dR/dt fica
dRdt=dV/dttfrac32pi R^2

Passo 4

Para o item (i), substituímos dV/dt=pi e R=10.2:
dRdt=pitfrac32pi(10.2)^2=1tfrac32,(10.2)^2=23cdot104.04approx0.00641,m/s

Passo 5

Para o item (ii), dada dR/dt=2/27, invertendo a fórmula:
R^2=dV/dttfrac32pi,(dR/dt)=pitfrac32picdottfrac227=9,
logo R=3,m. Como dV/dt=pi>0, o volume está crescendo.

Resposta

(i) dR/dtapprox0.00641,m/s. (ii) R=3,m e o volume está crescendo.

Exercícios relacionados