Questão 2. O volume de um cone circular reto é dado por
, onde R é o raio da base e Hé a altura do cone. Suponha que a reta que contém a geratriz do cone não se altera e que a taxa de variação do volume é sempre igual a
. Além disso, no tempo to, suponha que
e
.
(i) Qual a taxa de variação do raio, quando
?
(1.75 pontos)
(ii) Qual o valor do raio do cone quando a taxa de variação do raio, no tempo
, for igual a
? O volume está crescendo ou decrescendo?
(1.75 ponto)
Sugestões:
(1) Por semelhança de triângulos, tem-se que
.
(2) Lembre-se de que
e
são funções do tempo. Portanto, use a regra do produto para derivar
. Além disso, use a Regra da Cadeia para derivar a função
.
(i) Qual a taxa de variação do raio, quando
(1.75 pontos)
(ii) Qual o valor do raio do cone quando a taxa de variação do raio, no tempo
(1.75 ponto)
(1) Por semelhança de triângulos, tem-se que
(2) Lembre-se de que
Passo 1
Temos um cone circular reto com volume dado por
, onde
e
variam no tempo. A reta geratriz é fixa, então o comprimento da geratriz é constante, o que implica que a razão
permanece igual a
. Além disso, foi dado que
. Vamos usar cálculo de taxas relacionadas e semelhança de triângulos para achar
e o raio quando
.
Passo 2
Pela semelhança de triângulos,
Substituindo em
obtemos uma expressão só em função de
:
Passo 3
Agora derivamos em relação ao tempo usando regra da cadeia:
Isolando
fica
Passo 4
Para o item (i), substituímos
e
:
Passo 5
Para o item (ii), dada
, invertendo a fórmula:
logo
. Como
, o volume está crescendo.
Resposta
(i)
. (ii)
e o volume está crescendo.