Questão 3. Calcule a integral definida se ela existir:
integral sin ^6 pi x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva de sin^6(pi x), ou seja,
integral sin^6(pi x),dx
O conteúdo principal aqui é usar identidades trigonométricas de potência reduzida e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Usamos a identidade de potência para sexta potência do seno:
sin^6(theta) = 10 - 15cos(2theta) + 6cos(4theta) - cos(6theta)32

Passo 3

Substituindo theta = pi x na identidade e colocando dentro da integral, temos
integral sin^6(pi x),dx = integral 10 - 15cos(2pi x) + 6cos(4pi x) - cos(6pi x)32,dx

Passo 4

Agora integramos termo a termo, lembrando que integralcos(kx),dx = sin(kx)k e integral dx = x:
integral 1032,dx = 516x,
integral -1532cos(2pi x),dx = -1532cdotsin(2pi x)2pi = -1564pi,sin(2pi x),
integral 632cos(4pi x),dx = 632cdotsin(4pi x)4pi = 364pi,sin(4pi x),
integral -132cos(6pi x),dx = -132cdotsin(6pi x)6pi = -1192pi,sin(6pi x)

Passo 5

Somando todos os termos e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva desejada:
F(x) = 516x - 1564pi,sin(2pi x) + 364pi,sin(4pi x) - 1192pi,sin(6pi x) + C

Resposta

integral sin^6(pi x),dx = 516x - 1564pi,sin(2pi x) + 364pi,sin(4pi x) - 1192pi,sin(6pi x) + C

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