Questão 3. Calcule a integral definida se ela existir:
integral x sin ^3(x^2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
integral x,sin^3l(x^2r),dx
O conteúdo aqui é integração de função composta, que a gente resolve com substituição.

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = x^2,
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du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = tfrac12,du
Isso transforma a integral em função de u.

Passo 3

Substituindo na integral, temos
integral x,sin^3l(x^2r),dx = integral sin^3(u),l(tfrac12,dur) = tfrac12 integral sin^3(u),du

Passo 4

Agora precisamos calcular
integral sin^3(u),du
Usamos a identidade sin^3u = sin u,(1-cos^2u) e separamos:
integral sin^3(u),du = integral sin u,du ;-;integral sin u,cos^2u,du
Para a primeira parte,
integral sin u,du = -cos u
Para a segunda, fazemos v=cos u, dv=-sin u,du, então
integral sin u,cos^2u,du = -integral v^2,dv = -tfracv^33 = -tfraccos^3u3
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integral sin^3(u),du = -cos u ;-;l(-tfraccos^3u3r) = -cos u + tfraccos^3u3 + C

Passo 5

Voltando para x e lembrando o fator tfrac12, obtemos
integral x,sin^3l(x^2r),dx = tfrac12l(-cos u + tfraccos^3u3r)+C = -tfrac12cosl(x^2r) + tfrac16cos^3l(x^2r) + C

Resposta

-tfrac12cosl(x^2r) + tfrac16cos^3l(x^2r) + C

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