Questão 3. Calcule a integral definida se ela existir:
integral cot ^5 x sin ^4 x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral cot^5x ,sin^4x ,dx
O conteúdo aqui envolve uso de identidades trigonométricas para reescrever a integranda em função de sin x e cos x, seguido de substituição para transformar em uma integral de polinômio.

Passo 2

Reescrevemos cot^5x em termos de seno e cosseno:
cot^5x = cos^5xsin^5x
Logo,
cot^5x,sin^4x = cos^5xsin^5x,sin^4x = cos^5xsin x
Portanto a integral vira
integral cos^5xsin x,dx

Passo 3

Usamos a identidade cos^2x = 1 - sin^2x para expressar cos^5x como
cos^5x = cos x,(cos^2x)^2 = cos x,(1 - sin^2x)^2
Assim a integral fica
integral (1 - sin^2x)^2,cos xsin x,dx = integral 1 - 2sin^2x + sin^4xsin x,cos x,dx

Passo 4

Fazemos a substituição
u = sin x, du = cos x,dx
Então
1 - 2sin^2x + sin^4xsin x,cos x,dx ;longrightarrow; l(u^-1 - 2u + u^3r),du
A integral transforma-se em
integral l(u^-1 - 2u + u^3r),du

Passo 5

Integramos termo a termo:
integral u^-1,du = lnl|ur|, integral (-2u),du = -u^2, integral u^3,du = u^44
Somando os resultados, obtemos
lnl|ur| ;-; u^2 ;+; u^44 + C

Passo 6

Voltamos à variável original x com u = sin x:
lnl|sin xr| ;-;sin^2x ;+;sin^4x4 ;+;C

Resposta

integral cot^5x,sin^4x,dx = lnl|sin xr| - sin^2x + sin^4x4 + C

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