Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.
d xd y=x^2 y^21+x

Passo 1

Temos a equação diferencial de primeira ordem
dxdy=x^2y^21+x,
que é do tipo separável. Ou seja, podemos agrupar todos os termos em x de um lado e todos os termos em y do outro lado, para depois integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo todos os fatores em x multiplicando dx na esquerda e todos os fatores em y multiplicando dy na direita:
1+xx^2,dx = y^2,dy

Passo 3

Integramos ambos os lados. No lado esquerdo usamos
1+xx^2 = x^-2 + x^-1,
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integrall(x^-2+x^-1r),dx = integral x^-2,dx + integral x^-1,dx = -1x + lnlvert xrvert
No lado direito,
integral y^2,dy = y^33
Então,
-1x + lnlvert xrvert = y^33 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Reorganizando, temos a solução implícita
lnlvert xrvert - 1x = y^33 + C
Opcionalmente, podemos exponenciar para obter
x,e^-1/x = K,e^,y^3/3,
com K=e^C.

Resposta

boxedlnlvert xrvert - 1x = y^33 + C,
onde C é a constante de integração.

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