Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para resolvê-la por separação de variáveis. Vamos isolar
, separar os termos em
e
e integrar.
Passo 2
Colocando em forma explícita de derivada, dividimos tudo por
:
Passo 3
Agora separamos variáveis, passando os termos em
para o lado esquerdo e os de
para o lado direito:
Note que
o que facilita a integração.
Passo 4
Integramos ambos os lados:
No lado esquerdo
No lado direito usamos
, então
Acrescentamos a constante de integração
.
Passo 5
Reunindo os resultados, obtemos a solução geral em forma implícita:
Podemos reescrever de forma mais simétrica:
Resposta
onde
é a constante de integração.