Resolva a equação diferencial dada por separação de variáveis.
y ln x d x+(1+2 y) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
y,ln x,dx + (1 + 2y),dy = 0
e pede para resolvê-la por separação de variáveis. Vamos isolar dydx, separar os termos em x e y e integrar.

Passo 2

Colocando em forma explícita de derivada, dividimos tudo por dx:
y,ln x + (1 + 2y)dydx = 0 Longrightarrow dydx = -y,ln x1 + 2y

Passo 3

Agora separamos variáveis, passando os termos em y para o lado esquerdo e os de x para o lado direito:
1 + 2yy,dy = -ln x,dx
Note que
1 + 2yy = 1y + 2,
o que facilita a integração.

Passo 4

Integramos ambos os lados:
integrall(1y + 2r),dy = integral -ln x,dx
No lado esquerdo
integral1y,dy + integral 2,dy = lnlvert yrvert + 2y
No lado direito usamos integral ln x,dx = xln x - x, então
integral -ln x,dx = -l(xln x - xr) = -xln x + x
Acrescentamos a constante de integração C.

Passo 5

Reunindo os resultados, obtemos a solução geral em forma implícita:
lnlvert yrvert + 2y = -xln x + x + C
Podemos reescrever de forma mais simétrica:
lnlvert yrvert + 2y + xln x - x = C

Resposta

lnlvert yrvert + 2y + xln x - x = C,
onde C é a constante de integração.

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