QUESTÃO 5. Calcule a integral \int_{0}^{1} x \cdot(x+2)^{4} \cdot d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} x\,(x+2)^{4}\,dx.
O conteúdo aqui é técnica de substituição em integrais de polinômios.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x + 2,
então
dt = dx
e, quando x=0, t=2; quando x=1, t=3.

Passo 3

Precisamos também expressar x em função de t. Como t=x+2, temos
x = t - 2.
Logo a integral fica
\int_{x=0}^{x=1} x\,(x+2)^{4}\,dx = \int_{t=2}^{t=3} (t-2)\,t^{4}\,dt.

Passo 4

Distribuindo dentro do integrando, obtemos
(t-2)\,t^{4} = t^{5} - 2\,t^{4}.
Logo a integral é
\int_{2}^{3} \bigl(t^{5} - 2\,t^{4}\bigr)\,dt.
Aplicando a primitivação termo a termo,
\int t^{5}\,dt = \frac{t^{6}}{6}, \qquad \int 2\,t^{4}\,dt = 2\cdot\frac{t^{5}}{5} = \frac{2\,t^{5}}{5}.
Então o antiderivado é
F(t) = \frac{t^{6}}{6} - \frac{2\,t^{5}}{5}.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, avaliamos de 2 a 3:
F(3) = \frac{3^{6}}{6} - \frac{2\cdot 3^{5}}{5} = \frac{729}{6} - \frac{486}{5},
F(2) = \frac{2^{6}}{6} - \frac{2\cdot 2^{5}}{5} = \frac{64}{6} - \frac{64}{5}.
Logo
\int_{2}^{3} \bigl(t^{5} - 2\,t^{4}\bigr)\,dt = \bigl(F(3)-F(2)\bigr).

Passo 6

Fazendo F(3)-F(2) e colocando em denominador comum 30, obtemos
\frac{793}{30}.

Resposta

\displaystyle \frac{793}{30}

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