QUESTÃO 4. Calcule a integral \int_{-1}^{2} x^{2} \cdot(x+1)^{4} \cdot d x.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{-1}^{2} x^{2}\,(x+1)^{4}\,dx.
O conteúdo principal aqui é integrar um produto de potências. Vamos usar a técnica de substituição para simplificar o fator (x+1)^{4}.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x+1,
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x = t - 1 \quad\text{e}\quad dx = dt.
Quando x=-1, temos t=0. Quando x=2, temos t=3. A integral vira
\int_{x=-1}^{x=2} x^{2}\,(x+1)^{4}\,dx = \int_{t=0}^{t=3} (t-1)^{2}\,t^{4}\,dt.

Passo 3

Expandimos o integrando em t:
(t-1)^{2}\,t^{4} = (t^{2} - 2t + 1)\,t^{4} = t^{6} - 2t^{5} + t^{4}.
Assim a integral fica
\int_{0}^{3} \bigl(t^{6} - 2t^{5} + t^{4}\bigr)\,dt.

Passo 4

Integramos termo a termo usando a regra \int t^{n}dt = \tfrac{t^{n+1}}{n+1}:
\int_{0}^{3} t^{6}\,dt = \frac{t^{7}}{7}\Big|_{0}^{3},\quad \int_{0}^{3} (-2t^{5})\,dt = -2\,\frac{t^{6}}{6}\Big|_{0}^{3},\quad \int_{0}^{3} t^{4}\,dt = \frac{t^{5}}{5}\Big|_{0}^{3}.
Somando,
\int_{0}^{3} \bigl(t^{6} - 2t^{5} + t^{4}\bigr)\,dt = \frac{t^{7}}{7} \;-\; \frac{2\,t^{6}}{6} \;+\; \frac{t^{5}}{5} \;\Bigg|_{0}^{3}.

Passo 5

Avalia em t=3 (em t=0 tudo dá zero):
\frac{3^{7}}{7} \;-\; \frac{2\cdot 3^{6}}{6} \;+\; \frac{3^{5}}{5} = \frac{2187}{7} - \frac{2\cdot 729}{6} + \frac{243}{5} = \frac{2187}{7} - 243 + \frac{243}{5}.
Combine -243 + \tfrac{243}{5} = -\tfrac{972}{5}. Logo
\frac{2187}{7} \;-\; \frac{972}{5} = \frac{2187\cdot5 - 972\cdot7}{35} = \frac{10935 - 6804}{35} = \frac{4131}{35}.

Resposta

\displaystyle \frac{4131}{35}

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