Questão 1. (2,5) Calcule a integral iterada:
\int_{0}^{1} \int_{x}^{1} \sin \left(y^{2}\right) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}\sin\bigl(y^{2}\bigr)\,dy\,dx.
O conteúdo principal é troca da ordem de integração em integrais duplas e cálculo de uma integral por substituição.

Passo 2

Descrevemos a região de integração no plano (x,y):
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le1,\;x\le y\le1\}.
Invertendo a ordem, y varia de 0 a 1 e, para cada y, x varia de 0 a y. Assim,
\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}\sin\bigl(y^{2}\bigr)\,dy\,dx =\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{y}\sin\bigl(y^{2}\bigr)\,dx\,dy.

Passo 3

Calculamos primeiro a integral em x, tratando y como constante:
\int_{x=0}^{y}\sin\bigl(y^{2}\bigr)\,dx =\bigl[x\mapsto x\sin(y^{2})\bigr]_{0}^{y} =y\,\sin\bigl(y^{2}\bigr).
Logo a integral torna-se
\int_{0}^{1}y\,\sin\bigl(y^{2}\bigr)\,dy.

Passo 4

Para
\int_{0}^{1}y\,\sin\bigl(y^{2}\bigr)\,dy
faço a substituição t=y^{2}, com dt=2y\,dy, ou seja y\,dy=\tfrac{dt}{2}. Quando y=0, t=0; quando y=1, t=1. Assim,
\int_{0}^{1}y\,\sin\bigl(y^{2}\bigr)\,dy =\frac{1}{2}\int_{0}^{1}\sin(t)\,dt =\frac{1}{2}\bigl[-\cos(t)\bigr]_{0}^{1} =\frac{1}{2}\bigl(1-\cos(1)\bigr).

Resposta

\frac{1-\cos(1)}{2}

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