(Valor: 2,5 ) Verifique se a função abaixo é diferenciável na origem
f(x, y)= \begin{cases}\frac{2 x^{5}}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 10, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{2x^{5}}{x^{2}+y^{2}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[1ex] 10,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar se f é diferenciável na origem.
Para que f seja diferenciável em (0,0), em particular ela precisa ser contínua ali. Vamos primeiro checar a continuidade, avaliando
\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y).
]

Passo 2

Para calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0), use coordenadas polares:
x=r\cos\theta,\quad y=r\sin\theta,
com r\to0^+. Então, para (x,y)\neq(0,0),
f(r,\theta) =\frac{2\,(r\cos\theta)^{5}}{r^{2}} =\;2\,r^{3}\cos^{5}\theta.
Como \cos^{5}\theta é limitado (entre -1 e 1), temos
\lim_{r\to0^+}2\,r^{3}\cos^{5}\theta =0.
Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.

Passo 3

Vimos que
\displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0,
porém f(0,0)=10. Como o limite não coincide com o valor da função na origem, f não é contínua em (0,0). Diferenciabilidade exige continuidade, portanto f não é diferenciável na origem.

Resposta

A função não é diferenciável na origem.

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