e pede para verificar se f é diferenciável na origem.
Para que f seja diferenciável em (0,0), em particular ela precisa ser contínua ali. Vamos primeiro checar a continuidade, avaliando \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y).
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Passo 2
Para calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0), use coordenadas polares:
Como \cos^{5}\theta é limitado (entre -1 e 1), temos
\lim_{r\to0^+}2\,r^{3}\cos^{5}\theta =0.
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\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0.
Passo 3
Vimos que \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0,
porém f(0,0)=10. Como o limite não coincide com o valor da função na origem, f não é contínua em (0,0). Diferenciabilidade exige continuidade, portanto f não é diferenciável na origem.