(Valor: 2,5 ) Seja
uma função.
(a) Calcule as derivadas parciais
;
(b) Determine uma equação do plano tangente ao gráfico da função dada no ponto
.
(a) Calcule as derivadas parciais
(b) Determine uma equação do plano tangente ao gráfico da função dada no ponto
Passo 1
O enunciado define a função
e pede duas coisas: calcular as derivadas parciais
e
, e em seguida encontrar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto
. Para isso vamos usar regras básicas de diferenciação de funções de duas variáveis e a fórmula do plano tangente baseada no gradiente.
Passo 2
Para obter
consideramos
como constante e derivamos em relação a
. Assim,
implica
Passo 3
Para obter
consideramos
como constante e derivamos em relação a
. Assim,
implica
Passo 4
Agora avaliamos essas derivadas no ponto
.
Passo 5
A equação geral do plano tangente em
é
Substituindo
,
,
,
e
, fica
Podemos reorganizar para a forma explícita:
Resposta
(a)
,
(b) A equação do plano tangente é
(b) A equação do plano tangente é
ou, de forma equivalente,