(Valor: 2,5 ) Seja z=x^{2} y+x y^{2} uma função.
(a) Calcule as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{e} \frac{\partial z}{\partial y};
(b) Determine uma equação do plano tangente ao gráfico da função dada no ponto P(1,2,6).

Passo 1

O enunciado define a função
z = x^{2}y + xy^{2}
e pede duas coisas: calcular as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}, e em seguida encontrar a equação do plano tangente ao gráfico dessa função no ponto P(1,2,6). Para isso vamos usar regras básicas de diferenciação de funções de duas variáveis e a fórmula do plano tangente baseada no gradiente.

Passo 2

Para obter \frac{\partial z}{\partial x} consideramos y como constante e derivamos em relação a x. Assim,
z = x^{2}y + xy^{2}
implica
\frac{\partial z}{\partial x} = 2x\,y + y^{2}.

Passo 3

Para obter \frac{\partial z}{\partial y} consideramos x como constante e derivamos em relação a y. Assim,
z = x^{2}y + xy^{2}
implica
\frac{\partial z}{\partial y} = x^{2} + 2x\,y.

Passo 4

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (x_{0},y_{0})=(1,2).
\frac{\partial z}{\partial x}(1,2) = 2\cdot1\cdot2 + 2^{2} = 4 + 4 = 8,
\frac{\partial z}{\partial y}(1,2) = 1^{2} + 2\cdot1\cdot2 = 1 + 4 = 5.

Passo 5

A equação geral do plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) é
z - z_{0} = \frac{\partial z}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,(x - x_{0}) + \frac{\partial z}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,(y - y_{0}).
Substituindo x_{0}=1, y_{0}=2, z_{0}=6, \frac{\partial z}{\partial x}(1,2)=8 e \frac{\partial z}{\partial y}(1,2)=5, fica
z - 6 = 8\,(x - 1) + 5\,(y - 2).
Podemos reorganizar para a forma explícita:
z = 8x + 5y - 12.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = 2xy + y^{2},
\displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = x^{2} + 2xy.
(b) A equação do plano tangente é
z - 6 = 8(x - 1) + 5(y - 2)
ou, de forma equivalente,
z = 8x + 5y - 12.

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