Questão 1 - Calcule a integral de linha
integralC y^3 d s em que C é a curva dada pela função vetorial r(t)=(t^3, t), no intervalo [0,1].

Passo 1

Neste exercício, a gente precisa calcular a integral de linha integralC y^3,ds em que a curva é dada por vec r(t)=(t^3, t) para t variando de 0 a 1. O conteúdo envolvido é integral de linha de função escalar e vamos precisar parametrizar a curva e usar a fórmula integralC f(x,y),ds=integrala^b f(r(t))|vec r,'(t)|,dt.

Passo 2

Calcular vec r,'(t) e o elemento de arco ds. Temos:
vec r,'(t) = (3t^2, 1),
|vec r,'(t)| = raiz(3t^2)^2 + 1^2 = raiz9t^4 + 1,
logo ds = raiz9t^4 + 1,dt.

Passo 3

Substituir na integral: como y(t)=t, temos y^3 = t^3. Assim,
integralC y^3,ds = integral0^1 t^3 raiz9t^4 + 1,dt

Passo 4

Para resolver integral0^1 t^3 raiz9t^4+1,dt, fazemos a substituição u = 9t^4 + 1, de modo que du = 36t^3,dt. Então t^3,dt = 136,du. Quando t=0, u=1; e quando t=1, u=10.

Passo 5

Com isso, a integral vira:
136integral1^10 u^1/2,du = 136cdot 23,u^3/2|1^10 = 154l(u^3/2r)|1^10

Resposta

dfrac10raiz10-154

Exercícios relacionados