Questão 8 - Calcule a integral das seguintes funções vetoriais:
\int \cos (t) \vec{i}+t e^{t} \vec{j}+\operatorname{sen}(t) \vec{k} d t.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral da função vetorial
\int \bigl(\cos(t)\,\vec{i} + t e^{t}\,\vec{j} + \sin(t)\,\vec{k}\bigr)\,dt.
O conteúdo usado será integração de funções vetoriais (ou seja, componente a componente) e para a segunda componente integraremos por partes.

Passo 2

Integramos a primeira componente \cos(t) em relação a t:
\int \cos(t)\,dt = \sin(t).

Passo 3

Para a segunda componente \int t e^{t}\,dt, usamos integração por partes com u = t e dv = e^{t}dt. Assim, du = dt e v = e^{t}. Pela fórmula
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du
temos
\int t e^{t}\,dt = t e^{t} - \int e^{t}\,dt = t e^{t} - e^{t}.

Passo 4

Integramos a terceira componente \sin(t):
\int \sin(t)\,dt = -\cos(t).

Passo 5

Juntando tudo e adicionando uma constante vetorial \vec{C}, a primitiva é
\vec{F}(t) = \sin(t)\,\vec{i} + \bigl(t e^{t} - e^{t}\bigr)\,\vec{j} - \cos(t)\,\vec{k} + \vec{C}.

Resposta

\boxed{\sin(t)\,\vec{i} + \bigl(t e^{t} - e^{t}\bigr)\,\vec{j} - \cos(t)\,\vec{k} + \vec{C}}

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