Questão 3. Calcule a integral integral sen(ln (y^2)) d y.
(3.5 pontos)
Sugestões:
e^x2
(i) troca de variáveis: x=ln (y^2) (ou seja y=e^u / 2 );
(ii) sen(ln (y^2))=yy sen(ln (y^2));
(iii) Use a Regra da Cadeia para derivar ln (y^2). Note que Dy[ln (u(y))]=(1 / u(y)) cdot u^prime(y);
(iv) use integração por partes para resolver a integral na variável x .

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral senl(ln(y^2)r),dy
O conteúdo principal é usar troca de variáveis para transformar em uma integral envolvendo exponencial vezes seno e depois aplicar a fórmula de
integral e^a usin(bu),du.

Passo 2

Faça a substituição
u = lnl(y^2r)
Pela regra da cadeia,
dudy = 1y^2cdot 2y = 2y,
então
du = 2y,dy Longrightarrow dy = y2,du

Passo 3

Observe que de u=ln(y^2) segue
ln y = u2 Longrightarrow y = e^,u/2
Substituindo em integral sen(u),dy:
integral senl(ln(y^2)r),dy = integral sen(u),y2,du = 12 integral e^,u/2,sen(u),du

Passo 4

Para
I = integral e^,u/2,sen(u),du
use a fórmula genérica
integral e^ausin(bu),du = e^aua^2+b^2l(asin(bu)-bcos(bu)r)
Aqui a=tfrac12 e b=1, logo a^2+b^2=tfrac14+1=tfrac54.

Passo 5

Aplicando a fórmula em I:
I = e^u/2tfrac54l(tfrac12sin u - 1cos ur) = 45,e^u/2l(tfrac12sin u - cos ur) = 25e^u/2sin u - 45e^u/2cos u

Passo 6

Voltando à integral original com o fator tfrac12:
12,I = 15e^u/2sin u - 25e^u/2cos u + C
Finalmente, e^u/2=y e u=ln(y^2), portanto
integral senl(ln(y^2)r),dy = y5,senl(ln(y^2)r) - 2y5,cosl(ln(y^2)r) + C

Resposta

integral senl(ln(y^2)r),dy = y5,senl(ln(y^2)r) - 2y5,cosl(ln(y^2)r) + C

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