Seja a função definida por f(x, y)= \begin{cases}x y, & x^{2}+y^{2} \leq 1 \\\\ 0, & x^{2}+y^{2}>1\end{cases}
Verifique onde f é contínua.

Passo 1

O enunciado define \displaystyle f(x,y)=\begin{cases}xy,& x^2+y^2\le1,\\\ 0,& x^2+y^2>1\end{cases}
e pede para verificar onde f é contínua. O que precisamos: a definição de continuidade em \mathbb{R}^2, saber que polinômios e funções constantes são contínuos, e analisar o comportamento no interior e na fronteira do disco unitário.

Passo 2

Para \,(x,y) com x^2+y^2<1, temos f(x,y)=xy, que é produto de coordenadas e, portanto, um polinômio em x,y. Logo, f é contínua em todo o disco aberto \{(x,y)\mid x^2+y^2<1\}.

Passo 3

Para \,(x,y) com x^2+y^2>1, temos f(x,y)=0, que é função constante. Toda função constante é contínua, então f é contínua em \{(x,y)\mid x^2+y^2>1\}.

Passo 4

Resta analisar um ponto (a,b) da fronteira, ou seja a^2+b^2=1. Nesse caso
f(a,b)=ab.
Se (x,y)\to(a,b) vindo de dentro do disco, f(x,y)=xy\to ab. Se vier de fora, f(x,y)=0\to0. O limite total existe e coincide com f(a,b) só se
ab=0.

Resposta

f é contínua em todos os pontos com x^2+y^2\neq1 e, na fronteira x^2+y^2=1, é contínua apenas quando xy=0, isto é, nos pontos
(1,0),\;(-1,0),\;(0,1),\;(0,-1).

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