Questão: Encontre o valor do trabalho realizado pelo campo de força F(x, y, z)=4 y^{2} z i+8 x y z j+4\left(3 z^{3}+x y^{2}\right) k ao deslocar uma particula ao tongo da curva C que é a hélice circular R(t)=3 \operatorname{costi}+3 \operatorname{sentj}+k de t=0 \mathrm{a}_{\mathrm{t}}=\pi / 3.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\int_{C}F\cdot d\mathbf r
em que
F(x,y,z)=\bigl(4y^{2}z,\;8xyz,\;4(3z^{3}+xy^{2})\bigr)
e C é a hélice
\mathbf R(t)=(3\cos t,\;3\sin t,\;t),\quad 0\le t\le\frac\pi3.
Como F está definido em todo \mathbb R^3, vamos verificar se ele é conservativo e, em caso positivo, usar potencial para simplificar a integral.

Passo 2

Verificamos as condições de conservatividade ( \partial P/\partial y=\partial Q/\partial x, etc.). Chamando
P=4y^2z,\quad Q=8xyz,\quad R=12z^3+4xy^2,
temos
\frac{\partial P}{\partial y}=8yz,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=8yz,
\frac{\partial P}{\partial z}=4y^2,\quad \frac{\partial R}{\partial x}=4y^2,
\frac{\partial Q}{\partial z}=8xy,\quad \frac{\partial R}{\partial y}=8xy.
Como todas coincidem, F é conservativo.

Passo 3

Procuramos \varphi(x,y,z) tal que
\frac{\partial\varphi}{\partial x}=4y^2z,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial y}=8xyz,\quad \frac{\partial\varphi}{\partial z}=12z^3+4xy^2.
Integramos \partial\varphi/\partial x:
\varphi=4xy^2z+g(y,z).
Da condição em y segue \partial g/\partial y=0, logo g=g(z).
Da condição em z obtemos
4xy^2 +g'(z)=12z^3+4xy^2\quad\Longrightarrow\quad g'(z)=12z^3,
portanto g(z)=3z^4+C.
Assim
\varphi(x,y,z)=4xy^2z+3z^4\quad(\text{constante desprezível}).í

Passo 4

Pelo Teorema Fundamental das integrais de linha em campo conservativo,
W=\varphi\bigl(\mathbf R(\tfrac\pi3)\bigr)-\varphi\bigl(\mathbf R(0)\bigr).

Passo 5

Calculamos os pontos:
\mathbf R(0)=(3,0,0)\quad\Longrightarrow\quad \varphi(3,0,0)=0,
\mathbf R\bigl(\tfrac\pi3\bigr)=\bigl(\tfrac32,\;\tfrac{3\sqrt3}2,\;\tfrac\pi3\bigr).
Então
y^2=\Bigl(\tfrac{3\sqrt3}2\Bigr)^2=\tfrac{27}4,\quad x\,y^2=\tfrac32\cdot\tfrac{27}4=\tfrac{81}8,
4xy^2z=4\cdot\tfrac{81}8\cdot\tfrac\pi3 =\tfrac{324\pi}{24}=\tfrac{27\pi}2,
3z^4=3\Bigl(\tfrac\pi3\Bigr)^4=\frac{\pi^4}{27}.
Logo
\varphi\bigl(\mathbf R(\tfrac\pi3)\bigr) =\frac{27\pi}2+\frac{\pi^4}{27},
e
W=\frac{27\pi}2+\frac{\pi^4}{27}-0.

Resposta

W=\frac{27\pi}2+\frac{\pi^4}{27}.

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