Questão 2 Calcule a integral de superfície
integralS y z d S
se S é a porçâo do cone z^2=x^2+y^2 compreendida entre os planos z=1 e z=4 no primeiro octante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície:
integralS y z , dS
Aqui, S é a parte do cone z^2 = x^2 + y^2 que está entre os planos z = 1 e z = 4 no primeiro octante. Para resolver isso, precisamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Vamos precisar parametrizar o cone, encontrar o elemento de área dS e depois integrar a função y z sobre essa superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o cone. Como a equação do cone é z^2 = x^2 + y^2 , podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Em coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta
y = r sin theta
z = r
Aqui, r é a distância do ponto até o eixo z e theta é o ângulo em torno do eixo z .

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, x >= 0 e y >= 0 , o que significa que theta varia de 0 a pi2 . Além disso, o cone está entre z = 1 e z = 4 , e como z = r , isso significa que r varia de 1 a 4 .

Passo 4

Vamos encontrar o elemento de área dS na coordenada cilíndrica. Para um cone parametrizado por r e theta , o elemento de área é dado por:
dS = raiz(partial zpartial r)^2 + (partial zpartial theta)^2 + 1 , r , dr , dtheta
No nosso caso, z = r , então:
partial zpartial r = 1 e partial zpartial theta = 0
Portanto,
dS = raiz1^2 + 0^2 + 1 , r , dr , dtheta = raiz2 , r , dr , dtheta

Passo 5

Agora, vamos expressar a função y z em termos de r e theta . Sabemos que:
y = r sin theta e z = r
Então,
y z = r sin theta cdot r = r^2 sin theta

Passo 6

Vamos montar a integral de superfície substituindo tudo o que encontramos:
integralS y z , dS = integral0^pi2 integral1^4 r^2 sin theta cdot raiz2 , r , dr , dtheta
Simplificando os termos:
= raiz2 integral0^pi2 sin theta integral1^4 r^3 , dr , dtheta

Passo 7

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral1^4 r^3 , dr = r^44 |1^4 = 4^44 - 1^44 = 2564 - 14 = 64 - 0,25 = 63,75

Passo 8

Agora, substituímos o resultado na integral externa:
raiz2 cdot 63,75 integral0^pi2 sin theta , dtheta
A integral de sin theta é:
integral0^pi2 sin theta , dtheta = -cos theta |0^pi2 = -cos(pi2) + cos(0) = -0 + 1 = 1

Passo 9

Finalmente, multiplicamos todos os termos:
raiz2 cdot 63,75 cdot 1 = 63,75 raiz2 approx 90,31

Resposta

A integral de superfície é igual a 63,75 raiz2 , aproximadamente 90,31 .

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