se é a porçâo do cone compreendida entre os planos e no primeiro octante.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de superfície:
Aqui, é a parte do cone que está entre os planos e no primeiro octante. Para resolver isso, precisamos usar conhecimentos de cálculo multivariável, especificamente integrais de superfície. Vamos precisar parametrizar o cone, encontrar o elemento de área e depois integrar a função sobre essa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar o cone. Como a equação do cone é , podemos usar coordenadas cilíndricas para facilitar. Em coordenadas cilíndricas, temos:
Aqui, é a distância do ponto até o eixo e é o ângulo em torno do eixo .
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração. Como estamos no primeiro octante, e , o que significa que varia de a . Além disso, o cone está entre e , e como , isso significa que varia de a .
Passo 4
Vamos encontrar o elemento de área na coordenada cilíndrica. Para um cone parametrizado por e , o elemento de área é dado por:
No nosso caso, , então:
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos expressar a função em termos de e . Sabemos que:
Então,
Passo 6
Vamos montar a integral de superfície substituindo tudo o que encontramos:
Simplificando os termos:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 8
Agora, substituímos o resultado na integral externa: