Suponha que, a uma temperatura de t0=25^circ C, uma barra de alumínio tenha o comprimento de 10 cm . Suponha ainda que o comprimento c(t)=10+10^-4 times(t-t0). Nesse caso, |t-t0| é dita a variação da temperatura e |c(t)-c(t0)| é a correspondente variação do comprimento. Além disso, para t neq t0, o quociente c(t)-c(t0)t-t0 é a taxa média de variação do comprimento.
a) Obtenha uma estimativa para a variação do comprimento correspondente a uma variação da temperatura menor ou igual a 5^circ C.
b) Determine uma variação positiva na temperatura de forma que a correspondente variação do comprimento seja inferior a 0,0005 cm.
c) Calcule a taxa instantânea lim t t0 c(t)-c(t0)t-t0.
d) Determine a unidade de medida da taxa instantânea de variação do comprimento.

Passo 1

O enunciado nos dá uma barra de alumínio com comprimento em função da temperatura
c(t)=10 + 10^-4,(t - t0),
onde t0=25^circC e o comprimento está em centímetros. Definimos a variação de temperatura como
De<a t = lvert t - t0rvert
e a variação de comprimento como
De<a c = llvert c(t)-c(t0)rrvert
Queremos usar esse modelo linear para estimar variações de comprimento, encontrar as condições para a variação ficar abaixo de um certo valor, calcular a taxa instantânea de variação (derivada) e identificar sua unidade.

Passo 2

Para qualquer t, temos
c(t0)=10 e c(t)-c(t0)=10^-4,(t - t0)
Logo
De<a c = llvert 10^-4,(t-t0)rrvert =10^-4,lvert t-t0rvert =10^-4,De<a t
Se permitirmos De<a t <= 5^circC, então
De<a c <= 10^-4times 5 = 5times10^-4,cm = 0,0005,cm
Isto responde a) a estimativa da variação do comprimento.

Passo 3

Para b) queremos De<a c < 0,0005,cm. Usando De<a c =10^-4,De<a t, impomos
10^-4,De<a t < 5times10^-4 Longrightarrow De<a t < 5^circC
Portanto, qualquer variação de temperatura positiva menor que 5^circC garante De<a c<0,0005,cm. Por exemplo, De<a t=4^circC.

Passo 4

Para c) a taxa instantânea de variação é o limite da taxa média quando tto t0:
limtto t0c(t)-c(t0)t-t0 =limtto t010^-4 =10^-4

Passo 5

Para d) a unidade dessa taxa é a unidade de comprimento dividida pela unidade de temperatura, ou seja
cm^circC

Resposta

a) De<a c <= 0,0005,cm para De<a t <= 5^circC
b) Qualquer De<a t > 0 com De<a t < 5^circC, por exemplo 4^circC.
c) Taxa instant^anea = 10^-4
d) Unidade: cm/^circC

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