Suponha que, a uma temperatura de , uma barra de alumínio tenha o comprimento de 10 cm . Suponha ainda que o comprimento . Nesse caso, é dita a variação da temperatura e é a correspondente variação do comprimento. Além disso, para , o quociente é a taxa média de variação do comprimento.
a) Obtenha uma estimativa para a variação do comprimento correspondente a uma variação da temperatura menor ou igual a .
b) Determine uma variação positiva na temperatura de forma que a correspondente variação do comprimento seja inferior a .
c) Calcule a taxa instantânea .
d) Determine a unidade de medida da taxa instantânea de variação do comprimento.
Passo 1
O enunciado nos dá uma barra de alumínio com comprimento em função da temperatura
onde e o comprimento está em centímetros. Definimos a variação de temperatura como
e a variação de comprimento como
Queremos usar esse modelo linear para estimar variações de comprimento, encontrar as condições para a variação ficar abaixo de um certo valor, calcular a taxa instantânea de variação (derivada) e identificar sua unidade.
Passo 2
Para qualquer t, temos
c(t0)=10 e c(t)-c(t0)=10^-4,(t - t0)
Logo
De<a c = llvert 10^-4,(t-t0)rrvert =10^-4,lvert t-t0rvert =10^-4,De<a t
Se permitirmos De<a t <= 5^circC, então
De<a c <= 10^-4times 5 = 5times10^-4,cm = 0,0005,cm
Isto responde a) a estimativa da variação do comprimento.
Passo 3
Para b) queremos De<a c < 0,0005,cm. Usando De<a c =10^-4,De<a t, impomos
10^-4,De<a t < 5times10^-4 Longrightarrow De<a t < 5^circC
Portanto, qualquer variação de temperatura positiva menor que 5^circC garante De<a c<0,0005,cm. Por exemplo, De<a t=4^circC.
Passo 4
Para c) a taxa instantânea de variação é o limite da taxa média quando tto t0:
limtto t0c(t)-c(t0)t-t0 =limtto t010^-4 =10^-4
Passo 5
Para d) a unidade dessa taxa é a unidade de comprimento dividida pela unidade de temperatura, ou seja
cm^circC
Resposta
a) De<a c <= 0,0005,cm para De<a t <= 5^circC
b) Qualquer De<a t > 0 com De<a t < 5^circC, por exemplo 4^circC.
c) Taxa instant^anea = 10^-4
d) Unidade: cm/^circC