Questão 4. Calcule a integral tripla \iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}\right) d V, onde E é o sólido (do tipo 1 ) limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e pelos plano z=0 e z=2.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dV
onde E é o cilindro de raio 2 limitado por z=0 e z=2. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas, pois a região é naturalmente descrita em termos de raio e ângulo.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas usamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com o Jacobiano
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Além disso, x^2+y^2 = r^2. Logo o integrando fica r^2 e o elemento de volume traz mais um fator r, resultando em r^3.
Passo 3
Agora definimos os limites em cada variável:
0 \le z \le 2,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le r \le 2.