Questão 4. Calcule a integral tripla \iiint_{E}\left(x^{2}+y^{2}\right) d V, onde E é o sólido (do tipo 1 ) limitado pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4 e pelos plano z=0 e z=2.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral tripla
\iiint_{E}\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,dV
onde E é o cilindro de raio 2 limitado por z=0 e z=2. O conteúdo aqui é mudança para coordenadas cilíndricas, pois a região é naturalmente descrita em termos de raio e ângulo.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas usamos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,\quad z = z,
com o Jacobiano
dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
Além disso, x^2+y^2 = r^2. Logo o integrando fica r^2 e o elemento de volume traz mais um fator r, resultando em r^3.

Passo 3

Agora definimos os limites em cada variável:
0 \le z \le 2,\quad 0 \le \theta \le 2\pi,\quad 0 \le r \le 2.
Assim a integral se torna
\int_{z=0}^{2}\!\int_{\theta=0}^{2\pi}\!\int_{r=0}^{2} r^2\,(r\,dr\,d\theta\,dz) =\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{2\pi}\!\int_{0}^{2} r^3\,dr\,d\theta\,dz.

Passo 4

Calculamos a integral em r:
\int_{0}^{2} r^3\,dr =\left.\frac{r^4}{4}\right|_{0}^{2} =\frac{2^4}{4} =\frac{16}{4} =4.
Logo a integral reduz para
\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{2\pi}4\,d\theta\,dz.

Passo 5

Integramos agora em \theta e z:
\int_{0}^{2\pi}4\,d\theta =4\cdot2\pi =8\pi,
\int_{0}^{2}8\pi\,dz =8\pi\cdot2 =16\pi.

Resposta

O valor da integral é 16\pi.

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