Questão 2: Calcule:
lim x 2 x^2+3 x-4x^2-2 x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a questão de limite que pede para calcular:
lim x 2 x^2+3 x-4x^2-2 x
Essa é uma questão de Cálculo de Limites, e para resolvê-la, vamos precisar entender como simplificar expressões algébricas e analisar o comportamento da função perto do ponto x = 2 .

Passo 2

Primeiro, vamos tentar substituir diretamente x = 2 na expressão para ver o que acontece:
2^2 + 3 times 2 - 42^2 - 2 times 2 = 4 + 6 - 44 - 4 = 60
Aqui, percebemos que o denominador se torna zero, o que significa que a expressão não está definida nesse ponto. Isso nos indica que precisamos simplificar a expressão para entender melhor o comportamento do limite.

Passo 3

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a fração:
Numerador:
x^2 + 3x - 4
Procuramos dois números que multiplicados dão -4 e somados dão 3. Esses números são 4 e -1. Então:
x^2 + 4x - x - 4 = x(x + 4) - 1(x + 4) = (x - 1)(x + 4)
Denominador:
x^2 - 2x
Podemos fatorar tirando o x em comum:
x(x - 2)
Então, a expressão fica:
(x - 1)(x + 4)x(x - 2)

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento da função perto de x = 2 . Precisamos verificar os limites quando x se aproxima de 2 pela direita ( x to 2^+ ) e pela esquerda ( x to 2^- ).
1. Quando x to 2^+ (pela direita):
  • x > 2 , então:
    • x - 1 > 1 (positivo)
    • x + 4 > 6 (positivo)
    • x > 2 (positivo)
    • x - 2 > 0 (positivo)
Portanto, a fração inteira é positiva dividida por um número positivo que está se aproximando de zero, o que resulta em +infty .
2. Quando x to 2^- (pela esquerda):
  • x < 2 , então:
    • x - 1 > 1 (positivo)
    • x + 4 > 6 (positivo)
    • x < 2 (positivo)
    • x - 2 < 0 (negativo)
Neste caso, a fração fica positiva dividida por um número negativo que está se aproximando de zero, resultando em -infty .

Resposta

Como os limites laterais são diferentes ( +infty pela direita e -infty pela esquerda), o limite não existe.

Exercícios relacionados