Utilize, caso necessário, a regra de L’Hôpital para obter:
lim x 0^+ x ln raizx

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto0^+xlnraizx
e notamos que, ao fazermos xto0^+, temos xto0 e lnraizxto-infty, gerando a forma indeterminada 0cdot(-infty). Vamos usar simplificação algébrica e, depois, a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Usamos a identidade
lnraizx=tfrac12ln x,
de modo que
xlnraizx=x2,ln x

Passo 3

Para aplicar L’Hôpital, transformamos em quociente:
x2ln x = ln x,2/x,
Quando xto0^+, o numerador ln xto -infty e o denominador 2/xto +infty, caracterizando a forma tfrac-infty+infty.

Passo 4

Derivamos numerador e denominador em relação a x:
numerador: ddx(ln x)=1x,
denominador: ddx(2/x)=-2x^2.
Pela regra de L’Hôpital,
limxto0^+ln x2/x =limxto0^+tfrac1x-tfrac2x^2 =limxto0^+l(-tfracx2r) =0

Resposta

0

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