Questão 3 Considere as funções de \mathbb{R} em \mathbb{R} f e g cujos gráficos estão representados num mesmo sistema de eixos cartesianos:
Considere que f(x)=g(x) em x=2, x=2 \pm \sqrt{2}. Determine os valores de x tais que:
(e) \frac{f(x)}{g(x)}<1.

Passo 1

O enunciado pede os valores de x tais que
\frac{f(x)}{g(x)}<1.
Sabemos que f(x)=g(x) em x=2 e em x=2\pm\sqrt{2}. Para resolver, vamos estudar o sinal da diferença f(x)-g(x) e o sinal de g(x).

Passo 2

Reescrevemos a desigualdade
\frac{f(x)}{g(x)}<1
como
\frac{f(x)-g(x)}{g(x)}<0.
Isto significa que o quociente \bigl(f(x)-g(x)\bigr)/g(x) deve ser negativo, ou seja, numerador e denominador têm sinais opostos.

Passo 3

Identificamos as raízes do numerador h(x)=f(x)-g(x): são exatamente os pontos em que f(x)=g(x), ou seja
x_1=2-\sqrt{2},\quad x_2=2,\quad x_3=2+\sqrt{2}.
O denominador g(x) zera em x=2. Logo x=2 deve ser excluído (não podemos dividir por zero).

Passo 4

Analisamos sinais em cada intervalo determinado por 2-\sqrt{2}, 2 e 2+\sqrt{2}:
  1. Em x<2-\sqrt{2}: logo à esquerda de 2-\sqrt{2}, o gráfico mostra f(x)<g(x) (isto é, f-g<0) e também g(x)<0. Assim
    \frac{f-g}{g}=\frac{\text{negativo}}{\text{negativo}}>0,
    não satisfaz a desigualdade.
  2. Em 2-\sqrt{2}<x<2: escolhemos x=1. Vê-se no gráfico que f(1)>g(1) ( f-g>0) e g(1)<0, de modo que
    \frac{f-g}{g}=\frac{\text{positivo}}{\text{negativo}}<0,
    satisfaz.
  3. Em 2<x<2+\sqrt{2}: escolhemos x=2{,}5. No gráfico f(2{,}5)<g(2{,}5) ( f-g<0) e g(2{,}5)>0, logo
    \frac{f-g}{g}=\frac{\text{negativo}}{\text{positivo}}<0,
    satisfaz.
  4. Em x>2+\sqrt{2}: escolhemos x=4. Observa-se f(4)>g(4) ( f-g>0) e g(4)>0, então
    \frac{f-g}{g}=\frac{\text{positivo}}{\text{positivo}}>0,
    não satisfaz.

Passo 5

Concluímos que a desigualdade \frac{f(x)}{g(x)}<1 vale apenas nos intervalos em que \frac{f-g}{g}<0, ou seja
x\in\bigl(2-\sqrt{2},2\bigr)\,\cup\,(2,2+\sqrt{2}).

Resposta

x\in(2-\sqrt{2},2)\,\cup\,(2,2+\sqrt{2}).

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